1.1 Definición de Vectores en R^2 y R^3 y su generalización.
Anteriormente vimos que un vector es un objeto matemático con
dirección y magnitud.
La palabra “vectores” se refiere a los elementos de cualquier R n. En R1 =
R el vector es un punto, que llamamos escalar. En R2 el vector es de la forma
y en R3 el vector es de la forma
En R2:
1.- La suma de dos vectores se define por: sean a y b vectores en R 2,
entonces
2.- El producto escalar se define por: sea α Є R y a un vector en R 2,
entonces

Veamos el significado geométrico de la suma de vectores y el producto
escalar en R2.

(a1 + b1, a2 + b2)
a

b

Observa que si
, entonces la suma de los
vectores
). El cual se
obtiene trasladando la representación de los vectores a y b. De manera, que se
puede obtener
dibujando un paralelogramo. A esta regla de suma se le
llama la regla del paralelogramo.

αa

a

Para el producto escalar αa, se puede observar que si α > 0 se alarga o
se acorta el vector a por un factor α. Si α < 0 se invierte la dirección del vector
a.
En R3:
1.- La suma de vectores se define por: sean a, b Є R3, entonces
).
2.- El producto escalar se define por: sea α Є R y a un vector en R 3,
entonces
Definición: Sean a y b vectores en Rn, tal que
El producto interno de a y b representado por
, es el escalar que se obtiene multiplicando los componentes
correspondientes de los vectores y sumando luego los productos resultantes,
esto es:

Los vectores a y b se llaman ortogonales si su producto interno es igual
a cero.

1.2 Operaciones con vectores
S uma de ve c tore s : Para sumar dos vectores libres ⃑ y ⃑ se
escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno
coincida con el extremo origen del otro vector.

Re gl a de l pa ra l e logra mo: Se toman como representantes dos
vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores
obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los
vectores.

P a ra sum a r d o s vect o re s se sum a n su s re sp e ct iva s
co m po ne n te s.
⃑

⃗

⃗

⃗

Resta de vectores
P a ra re st a r d o s ve ct o re s lib re s ⃑ y
o p ue st o d e .

se su m a ⃑ co n e l

L a s com p on e nt e s d e l ve ct o r re st a se o b t ien e n re sta nd o la s
co m po ne n te s de los ve ct o re s.

⃑
⃗

⃗
⃗

EJEMPLO:
⃑

⃑

⃗

⃗

⃗

⃗

(

)

Producto de un número por un vector
El producto de un número k por un vector ⃑ es otro vector:
1.- De igu a l d ire cció n que el vector ⃑
2.- Del m ism o se n t id o que el vector ⃑ si k e s p o sit ivo .
3.-De se nt id o co n t ra rio del vector ⃑ si k es n e ga t ivo .
4.- De m ó du lo | | |⃑ |

L a s co mp on e nt e s d e l ve ct o r re su lt a n te
m u lt ip lican d o p o r K la s com po n en t e s d e l ve ct o r.

se

o b t ie n en

⃑

1.3 Producto Escalar y Vectorial
Producto escalar
El producto interior o producto escalar de dos vectores a y b en el
espacio tridimensional
a · b = |a| |b| cos

cuando a

0, b

0

a·b=0

cuando a = 0 o b = 0

Aquí (0
) es el ángulo entre a y b (calculado cuando los
vectores tienen sus puntos iniciales coincidentes).

El valor del producto interior (escalar) es un escalar (un número real) y
esto motiva el término producto escalar. El coseno del ángulo
puede ser
positivo, cero o negativo, lo mismo se aplica al producto interior.
Observamos que el coseno es cero cuando

= 0.5

= 90°.

Teorema de Ortogonalidad.
Dos vectores diferentes de cero son ortogonales sí, y sólo si, su
producto interior (escalar) es cero.
Se tienen las siguientes propiedades:

| |

√
⌊ ⌋⌊ ⌋

√

√
Linealidad
Simetría
Solo si
Ser positivo definido
Distributiva

|
|

|

| || |
|

| |

Desigualdad de Schwarz
| |

Desigualdad del triángulo

|
|
paralelogramo

|

|

| |

| |

Igualdad del

Si los vectores a y b se representan en términos de sus componentes;

Su producto interior está por la siguiente fórmula:

Proyección
Consideremos dos vectores a y b diferentes de cero, denotando por el
ángulo entre ellos, el número real:
| |
Se llama componente de a en la dirección de b o proyección de a en la
dirección de b. Si a = 0, entonces no está definido y se hace
.
| | Es la longitud de la proyección ortogonal de la a sobre una recta 1 en
la dirección de b, p puede ser positiva, cero o negativa.

Producto Vectorial
Varias aplicaciones sugieren la introducción de otro tipo de multiplicación
vectorial en la que el producto de dos vectores sea nuevamente un vector. Este
producto vectorial de los dos vectores a y b se escribe

Y es un vector definido como sigue.

Si a y b tienen la misma dirección,
son opuestos o uno de ellos es el vector
cero, entonces su producto vectorial es
cero
En cualquier otro caso, v
es el vector cuya longitud es igual al
área del paralelogramo con a y b como
lados adyacentes y cuya dirección es
perpendicular tanto a a como a b y es
tal que a, b, v, en ese orden, forman
una terna derecha o triada derecha.
El término derecho se debe al hecho de
que los vectores a, b, v, en ese orden,
toman la misma orientación que los dedos
pulgar, índice y medio de la mano derecha
cuando se colocan como se muestra en la
figura de al lado. También puede decirse
que si a se gira hacia la dirección de b,
describiendo el ángulo
, entonces v
avanza en la misma dirección que un
tornillo de rosca derecha, si este se gira
en el mismo sentido.
El paralelogramo donde a y b son los
lados adyacentes tiene el área | | | |
. Se obtiene
| |

| || |

El
producto
vectorial
es
anticonmutativo, si
Entonces | |
| | y para que b, a,
w formen una terna derecha debe
cumplirse que
. De lo anterior
se obtiene
.
La
multiplicación
vectorial
de
vectores no es conmutativa, sino
anticonmutativa.

1.4 TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

Los triples productos aparecen cuando se desea definir multiplicaciones entre
tres vectores. Una expresión de la forma ⃑⃗
⃗
⃑⃑⃗ no tiene mucho sentido
porque el resultado del primer producto es un escalar.
⃑⃗ ⃗ ⃑⃑⃗

⃑⃑⃗

Y no es posible calcular el producto punto entre un número (escalar) y
un vector. Sin embargo, cuando los vectores son elementos de
, podemos
combinar el producto punto con el producto cruz para definir una nueva
operación entre tres vectores que se denomina triple producto escalar pues el
resultado será una cantidad escalar. Es importante indicar escalar para
diferenciarlo del triple producto vectorial que se obtiene al multiplicar tres
vectores usando únicamente el producto cruz y cuyo resultado es, por tanto un
vector.
El triple producto escalar de los vectores ⃑⃗ ⃗ ⃑⃑⃗ se denota por | ⃑⃗ ⃗ ⃑⃑⃗| y
está definido como:
⌊ ⃑⃗ ⃗ ⃑⃑⃗⌋

⃗

⃑⃑⃗

Cálculo del triple producto escalar
Para hallar una fórmula que permita calcular el valor del triple producto
escalar a partir de las coordenadas de los vectores procedemos a realizar la
sustitución del producto cruz:
⌊ ⃑⃗ ⃗ ⃑⃑⃗⌋
⃑⃗ |

⃗

⃑⃗

|

⃑⃗

⃑⃗

⃑⃗ (|

⃑⃑⃗

|

| ⃑⃗
|

|

|

|⃗
|

| ⃑⃗ )

|

|

|

En donde hemos usado que:
⃑⃗ ⃗

⃑⃗ ⃗

⃑⃗ ⃑⃗

Sin embargo, la última expresión obtenida es precisamente el desarrollo
de un determinante, esto es: