Capítulo 7

Integrales impropias
7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades
El concepto de integral se extiende de manera casi espontánea a situaciones más generales que
las que hemos examinado hasta ahora. Consideremos, por ejemplo, la función no acotada
f : (0, 1] → R,

f (t) = logt.

Puesto que f es continua, para cada x ∈ (0, 1] existe su integral en [x, 1], que vale
! 1
x

f=

! 1
x

y como
l´ım

logt dt = [t logt − t]t=1
t=x = −1 − x log x + x;

! 1

x→0+ x

f = l´ım+ [−1 − x log x + x] = −1,
x→0

parece natural escribir, simplemente,

! 1
0

f = −1.

Igualmente, si en el intervalo no acotado [0, +∞) tomamos la función continua f (t) = e−t , para cada
x ∈ [0, +∞) tenemos
! x

l´ım

!0 x

x→+∞ 0

lo que sugiere escribir

f=

! x
0

−x
e−t dt = [−e−t ]t=x
t=0 = −e + 1,

"
#
f = l´ım −e−x + 1 = 1,
x→+∞

! +∞
0

e−t dt = 1.

Siguiendo estas ideas podemos definir en distintas situaciones una integral generalizada o integral
impropia, lo que nos llevará a estudiar diferentes tipos de condiciones que permitan asegurar su existencia.
161

Capítulo 7. Integrales impropias

162

7.1.1.

Integrales impropias: definición de integrales impropias convergentes, divergentes, oscilantes

Definición 7.1.1. Sea A ⊆ R. Se dice que una función f : A → R es localmente integrable en A si es
integrable en cada intervalo cerrado y acotado contenido en A.
Por ejemplo, todas las funciones continuas y todas las funciones monótonas, acotadas o no, son
localmente integrables.
Obsérvese que si −∞ < a < b ≤ +∞, una función f es localmente integrable en [a, b) si y solo si
es integrable en cada intervalo [a, x] ⊆ [a, b). Análogamente, si −∞ ≤ a < b < +∞, una función f es
localmente integrable en (a, b] si y solo si es integrable en cada intervalo [x, b] ⊆ (a, b].
Consideremos en primer lugar funciones definidas en intervalos del tipo [a, b), donde b es finito o
+∞.
Definición 7.1.2. Dada una función f : [a, b) → R localmente integrable, −∞ < a < b ≤ +∞, si existe
el límite
! x
l´ım−
f (t) dt
(7.1)
x→b

a

$b

y es finito, decimos que la integral impropia a f es convergente, y al valor de dicho límite lo llama$
mos integral impropia de f en el intervalo [a, b); se denota por ab f . Si el límite (7.1) existe, pero es
+∞ o −∞, decimos que la integral impropia diverge a +∞ o −∞, y si no existe el límite decimos que
la integral impropia no existe, o que no tiene sentido, o que es oscilante (esta última denominación
se reserva en algunos textos para otro concepto distinto).
Si la integral impropia de una función en un intervalo es convergente se dice que la función es
integrable en sentido impropio en dicho intervalo.
De manera enteramente análoga puede definirse la integral impropia de una función en un intervalo (a, b], −∞ ≤ a < b < +∞:
Definición 7.1.3. Dada una
función f : (a, b] → R localmente integrable, −∞ ≤ a < b < +∞, decimos
$
que la integral impropia ab f es convergente si existe el límite
l´ım+

x→a

! b
x

f (t) dt

(7.2)

y es finito, y$ al valor de dicho límite lo llamamos integral impropia de f en el intervalo (a, b]; se
denota por ab f . Si el límite (7.2) existe, pero es +∞ o −∞, decimos que la integral impropia diverge
a +∞ o −∞, y si no existe el límite decimos que la integral impropia no existe, o no tiene sentido, o
que es oscilante.
La definición de integral impropia de funciones localmente integrables en intervalos abiertos puede hacerse mediante límites en dos variables o reduciéndola a las definiciones anteriores del siguiente
modo:
Definición 7.1.4. Dada una
función f : (a, b) → R localmente integrable, −∞ ≤$ a < b$≤ +∞, decimos
$
que la integral impropia ab f es convergente si existe un c ∈ (a, b) tal que ac f y cb f son ambas
convergentes; en ese caso, se define
! b
a

f=

! c
a

f+

! b
c

f.

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

163

Del siguiente resultado (y de su análogo para intervalos semiabiertos por la izquierda) se deduce
que en esta definición es indiferente el punto c que se elija. También se deduce que la convergencia
de una integral impropia es un concepto local, que depende solo del comportamiento del integrando
cerca del punto impropio, en un entorno del extremo conflictivo.
Proposición 7.1.5. Sea f : [a, b) → R una función localmente integrable y sea a < c < b. La función
f es integrable en sentido impropio en [a, b) si y solo si es integrable en sentido impropio en [c, b), en
cuyo caso se tiene
! b

f=

a

! c
a

f+

! b

f.

c

(7.3)

Demostración. Basta tener en cuenta que para cada x ∈ (c, b) es
! x

f=

a

! c
a

f+

! x

f.

c

Por tanto, el límite cuando x → b− de la primera integral existe si y solo si existe el límite de la tercera
integral, y cuando esto suceda, pasando al límite se obtiene la relación (7.3).
Los conceptos anteriores se extienden al caso de funciones definidas en una unión finita de intervalos disjuntos. Por ejemplo:
Definición 7.1.6. Sea J = ∪nk=1 Ik , donde (Ik )nk=1 es una familia de intervalos
disjuntos. Si f es una
$
función localmente integrable en J, se dice que la integral impropia J f es convergente si converge
$
cada una de las integrales abkk f , donde ak y bk son los extremos de Ik ; en ese caso, se define
!

J

f=

n

∑

! bk

k=1 ak

f.

Nota. Cuando los
intervalos (Ik$) son contiguos, es decir, cuando b1 = a2 , . . . , bk−1 = ak , . . . , bn−1 = an ,
$
suele escibirse ab1n f en vez de J f .
Ejemplos.

a) Dado α ∈ R, las integrales impropias

si α < 1, y divergen a +∞ si α ≥ 1.
b) La integral impropia
c) La integral impropia

! +∞
dt
1

! +∞
0

tα

! b
a

dt
y
(t − a)α

! b
a

dt
son convergentes
(b − t)α

es convergente si α > 1. Si α ≤ 1, diverge a +∞.

e−αt dt es convergente si α > 0. Si α ≤ 0, diverge a +∞.

d) La función
f (x) = √

1
1 − x2

es localmente integrable en (−1, 1) porque es continua. Su integral impropia es convergente:
! 1

dx
√
=
−1
1 − x2

! 0

dx
√
+
−1
1 − x2

( f tiene como primitiva la función arc sen).

! 1
0

√

dx
π
π
= −(− ) + = π
2
2
1 − x2

Capítulo 7. Integrales impropias

164

Nota. Para más sencillez, solo vamos a considerar por lo general integrales impropias en intervalos
del tipo [a, b), donde −∞ < a < b ≤ +∞. Dejamos al lector escribir las modificaciones pertinentes
para los otros casos.
La noción de integral impropia se reduce a la de integral de Riemann cuando tratamos con funciones integrables-Riemann.
Proposición 7.1.7. Sea f : [a, b] → R una función integrable-Riemann en [a, b]. Entonces f es integrable en sentido impropio en [a, b) y su integral impropia es igual a la integral de Riemann.
Demostración. Según el teorema fundamental del cálculo integral (teorema 6.3.4), la función
F(x) =
es continua en b, así que

! b
a

! x

f

a

f = l´ım−
x→b

! x
a

f.

Esto demuestra que f es integrable en sentido impropio en [a, b) y que su integral impropia es igual a
la integral de Riemann.
La misma idea sirve para demostrar que si una función es continua en [a, b) y en b tiene una
discontinuidad evitable, entonces es integrable en sentido impropio en [a, b):
Proposición 7.1.8. Sea −∞ < a < b < +∞. Si f : [a, b) → R es una función continua y existe el límite
l´ım− f (x) ∈ R, entonces f es integrable en sentido impropio en [a, b) y
x→b

! b
a

f=

! b
a

g,

donde g es la extensión continua de f a [a, b].
Demostración. La función g es integrable Riemann, ya que es continua en [a, b]. Según la definición
de integral impropia,
! b
a

f = l´ım−
x→b

! x
a

f = l´ım−
x→b

! x
a

g=

! b
a

g,

donde en la última igualdad se usa el teorema fundamental del cálculo integral (teorema 6.3.4).
Observación. Con la misma demostración, se puede probar que si f es una función localmente integrable en [a, b) y se puede extender a una función integrable-Riemann en [a, b], entonces la integral
impropia
! b
a

es convergente.

f

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1.2.

165

Primeras propiedades de las integrales impropias

Algunas propiedades de la integral de Riemann se trasladan sin dificultad a las integrales impropias, como muestran las proposiciones siguientes.
Proposición 7.1.9. Sean f , g funciones integrables en sentido impropio en un intervalo [a, b). Dados
λ , µ ∈ R, la integral impropia
! b
a

es convergente, y se cumple

! b
a

(λ f + µg)

(λ f + µg) = λ

! b
a

f +µ

! b
a

g.

Proposición 7.1.10 (regla de Barrow para integrales impropias). Sea g una función derivable en
[a, b) y tal que

g)

es localmente integrable en [a, b). La integral impropia

! b
a

g) es convergente si y

solo si el límite l´ım− g(x) existe y es finito. Y si eso ocurre, entonces se verifica
x→b

! b
a

g) = l´ım− g(x) − g(a).
x→b

Proposición 7.1.11 (integración por partes en integrales impropias). Sean u, v funciones derivables en [a, b) y tales que u) , v) son localmente integrables en [a, b). Si existen y son reales dos de los
límites siguientes:
l´ım−

! x

u) v,

uv) = l´ım− u(x)v(x) − u(a)v(a) −

! b

u) v.

l´ım−

x→b

! x
a

uv) ,

l´ım− u(x)v(x),

x→b

x→b

a

entonces el otro también existe y es real y se verifica
! b
a

x→b

a

Proposición 7.1.12 (cambio de variable en integrales impropias). Sean I y J intervalos abiertos,
[a, b) ⊆ J, f : I → R una función continua, u : J → I una función derivable tal que existe l´ım− u(y) =
! ∈ R ∪ {±∞} y con derivada u) continua. Entonces la integral
! b
a

f (u(x))u) (x) dx

converge si y solo si converge la integral
! !

u(a)

f (t) dt,

en cuyo caso ambas integrales son iguales:
! b
a

f (u(x))u) (x) dx =

! !

u(a)

f (t) dt.

y→b

Capítulo 7. Integrales impropias

166

7.2. Convergencia de integrales impropias
7.2.1.

Convergencia de integrales impropias con integrando no negativo. Criterios de
comparación

En el caso particular de que la función sea no negativa, el estudio de la convergencia de su integral
es más sencillo:
Proposición
7.2.1. Sea f una función localmente integrable y no negativa en [a, b). La integral im$
propia ab f es convergente si y solo si la función
F(x) =

! x
a

x ∈ [a, b)

f,

está acotada. En caso contrario, la integral diverge a +∞.
Demostración. Como f es no negativa, la función F es monótona no decreciente. Recordando que
l´ım F(x) = sup{F(x) : x ∈ [a, b)},

x→b−

se deduce que el límite es finito si F está acotada (superiormente), mientras que si no está acotada el
límite es +∞.
Una consecuencia importante de este resultado es el siguiente criterio de comparación, que permite reducir el estudio de la convergencia de una integral impropia al de otras conocidas.
Proposición 7.2.2 (criterio de comparación por mayoración). Sean f , g funciones no negativas
localmente integrables en un intervalo [a, b). Supongamos que existen una constante
K y algún c ∈
$
[a, b) tales que f (x) ≤ Kg(x) siempre que c < x < b. Si la integral impropia ab g es convergente,
$
entonces también la integral impropia ab f es convergente.
Demostración. Para cada x ∈ [a, b) es

! x
a

f≤

! c
a

f +K

! b
c

g,

así que el resultado se deduce de la proposición 7.2.1.
Proposición 7.2.3 (criterio de comparación por paso al límite). Sean f , g funciones no negativas
localmente integrables en un intervalo [a, b). Supongamos que existe
f (x)
= ! ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}.
g(x)

l´ım

x→b−

a) Si ! < +∞ y la integral impropia
converge.
b) Si 0 < ! y la integral impropia

$b

c) Si 0 < ! < ∞, las dos integrales
o las dos son divergentes.

a

a

g converge, entonces la integral impropia

g diverge, entonces la integral impropia

$b
a

$b

fy

$b
a

$b
a

$b
a

f también

f también diverge.

g tienen el mismo carácter: o las dos son convergentes,

7.2. Convergencia de integrales impropias

167

Demostración. a) Si ! < ∞, tomemos ! < K < ∞; existe un c tal que f (x) < Kg(x) si c < x < b. Basta
entonces aplicar el criterio 7.2.2 de mayoración.
b) Si 0 < !, tomemos 0 < K < !; existe algún
c tal que f (x) > Kg(x) si c < x < b. Por el crite$
$
rio 7.2.2 de mayoración, si la integral impropia ab g diverge necesariamente la integral impropia ab f
debe divergir.
c) Es una consecuencia inmediata de a) y b).
$

$

Nótese que si, en particular, es f (x) ∼ g(x) cuando x → b− , entonces ab f y ab g tienen el mismo
carácter.
Examinando los ejemplos que hemos visto de convergencia y divergencia, del criterio 7.2.3 se
deduce:
Corolario 7.2.4 (criterio de Pringsheim).
a) Sea f una función no negativa, localmente integrable en un intervalo [a, +∞) y tal que para algún α existe el límite
l´ım xα f (x) = ! ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}.

x→+∞

Entonces:
• si α ≤ 1 y ! > 0, la integral

$ +∞
a

• si α > 1 y ! += +∞, la integral

f diverge (a +∞).

$ +∞
a

f converge.

b) Sea f una función no negativa, localmente integrable en un intervalo [a, b), con −∞ < a < b <
+∞, y tal que para algún α existe el límite
l´ım (b − x)α f (x) = ! ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}.

x→b−

Entonces:
• si α ≥ 1 y ! > 0, la integral

$b
a

• si α < 1 y ! += +∞, la integral

7.2.2.

f diverge (a +∞).
$b
a

f converge.

Integrales impropias de integrando cualquiera: convergencia absoluta y convergencia condicional. Criterios de Abel y Dirichlet

Definición 7.2.5. Sea f una función localmente integrable en [a, b). Decimos que la integral impropia
de f en [a, b) es absolutamente convergente si la integral impropia
! b
a

| f (t)| dt

es convergente.
Proposición 7.2.6. Toda integral impropia absolutamente convergente es convergente.
Demostración. Sea f : [a, b) → R localmente integrable y supongamos que la integral impropia
es convergente. Definamos
f+ (x) = m´ax{ f (x), 0},
f− (x) = m´ax{− f (x), 0}.

$b
a

|f|

Capítulo 7. Integrales impropias

168

Las funciones f+ y f− son localmente integrables y es fácil comprobar que
0 ≤ f+ ≤ | f |,

$

0 ≤ f− ≤ | f |,

$

así que las integrales impropias ab f+ y ab f− son convergentes. También es fácil comprobar que
$
f = f+ − f− , luego la integral ab f es convergente.
f−

f

f+

Las funciones f , f + y f −

Como la convergencia absoluta de una integral impropia es la convergencia de la integral de una
función no negativa, la proposición 7.2.6 permite aprovechar en muchos casos los métodos de comparación de integrandos no negativos. Por ejemplo:
a) la integral

! +∞
cos x

y la integral
b) la integral

1!

+∞

x2

1

1
x2

dx
converge);
x2

! +∞
sen x

x

0

% x%
%≤
dx es convergente, porque es absolutamente convergente (0 ≤ % cos
x2

dx es convergente, puesto que integrando por partes
! y
sen x
1

x

dx = −

& cos x 'y
x

1

−

! y
cos x
1

x2

dx

y el segundo miembro de esta igualdad tiene límite finito para y → +∞, como consecuencia de
a).
Sin embargo, hay integrales impropias convergentes
que no son absolutamente convergentes. El
$ +∞ sen x
ejemplo estándar es precisamente la integral 0
x dx, como vemos a continuación.
Ejemplo. La integral

$ +∞ | sen x|
0

x

! nπ

(n−1)π

Luego

dx no es convergente. En efecto: para cada n ∈ N,

| sen x|
1
dx ≥
x
nπ

! Nπ
| sen x|
0

x

2
dx ≥
π

! nπ

(n−1)π

| sen x| dx =

! N+1
dx
1

x

=

2
2
≥
nπ
π

! n+1
dx
n

x

.

2
log(N + 1) → +∞.
π

Definición 7.2.7. Si una integral impropia es convergente pero no es absolutamente convergente, se
dice que es condicionalmente convergente.

7.3. Ejercicios

169

Como hay integrales impropias condicionalmente convergentes, es importante disponer de criterios de convergencia que no dependan de la convergencia absoluta; de ellos, los que más se usan en la
práctica son los criterios de Abel y Dirichlet.
Proposición 7.2.8 (criterio de Abel). Sea f una función integrable en sentido impropio en
un in$
tervalo [a, b) y g una función monótona y acotada en dicho intervalo. Entonces la integral ab f g es
convergente.
Proposición 7.2.9 (criterio
%! x de% Dirichlet). Sea f una función localmente integrable en un interva%
%
lo [a, b) y tal que sup %%
f %% es finito y sea g una función monótona en [a, b) con l´ım− g(x) = 0.
a<x<b a
$b
a f g es

Entonces la integral

x→b

convergente.

7.3. Ejercicios
Ejercicio 7.1. Estudiar la convergencia de la integral
! +∞
−1

dx

(

|x(1 − x2 )|

.

Ejercicio 7.2. Determinar el carácter de las siguientes integrales impropias:
! +∞

a)

0

! 1/2

e)

0

dx
1 + x2

b)

dx
x log x

f)

! π/2
dx

i)

0

m)

0

dx
√
x2 + x

! +∞ 2 −x
x e

p)

0

1 + x2

2

log x

dx

! +∞
log x

x

1

dx

! 1

dx
√
0
1 − x2
! 3
dx
2 − 1)2
(x
0

n)

! +∞

q)

2

! +∞
dx

t)

c)

x+1

0

j)

cos x

! +∞

! +∞
dx

3

e−x dx

g)
k)
ñ
r)

! +∞
0

! +∞

dx
|x − 1|

! 1

d)

x dx
√
0
x4 + 3
! +∞ 2
x dx
4 +1
x
0

0

! 2

h)

1

dx
√
2
2
−x + 6x − 8
! +∞
sen x
dx
2
−∞ 1 + x

dx
(x3 − 4x2 + 4x)1/3

! +∞

l)

! 4

log x dx

0

! 3

o)

0

! 1

s)

0

dx
(1 + x5 )1/6

dx
(x(3 − x))1/3

1
(log x) sen dx
x

Ejercicio 7.3. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales y, si convergen, calcular su valor:
a)
e)
i)
m)

! +∞
1

! π
0

dx
x(1 + x2 )

dx
2 + cos x

! +∞ −x
e

dx
1 + ex
! 1)
1+x
dx
1−x
−1
1

b)
f)
j)

! +∞
2

! π
0

c)

cos2 x
dx
1 + cos2 x

! +∞
0

dx
x2 − 1

|x − 3|e

−x

dx

g)
k)

! 0

−∞

xex dx

! +∞
1

! +∞
0

d)

dx
x x2 − 1
√

|x−2|

xe

dx

h)
l)

! 1

x| log x| dx

! 3

|x − 2| log x dx

0

! 2

x2 dx
√
−2
4 − x2
1

Capítulo 7. Integrales impropias

170

Ejercicio 7.4 (funciones gamma y beta de Euler). Probar que dados t, u, v ∈ (0, +∞), las siguientes
integrales son convergentes:
Γ(t) =
B(u, v) =
Ejercicio 7.5.

! +∞
0

! 1
0

xt−1 e−x dx,

xu−1 (1 − x)v−1 dx.

a) Probar que Γ(t + 1) = tΓ(t), para todo t > 0.

b) Probar que Γ(n + 1) = n! para todo entero n ≥ 0.
Ejercicio 7.6. Teniendo en cuenta la función Γ y sabiendo que Γ( 12 ) =
a)
e)

! +∞
0

! +∞
−∞

2

x2 e−x dx
x3 e

−x2

dx

b)
f)

! +∞
0

! +∞
0

2

3−4x dx
−x2

(x − 3)e

c)
dx

g)

! +∞
−∞

! +∞
0

√
π, calcular estas integrales:

x2 e−|x−1| dx
√
− x

(x2 + 1)e

d)
dx

! 1
0

x2 log4 x dx