PROGRAMAS
DE ESTUDIO 2011
GUÍA PARA EL MAESTRO
Educación Básica
Secundaria
Matemáticas

Secretaría de Educación Pública

Alonso Lujambio Irazábal

Subsecretaría de Educación Básica

José Fernando González Sánchez

Dirección General de Desarrollo Curricular

Leopoldo Felipe Rodríguez Gutiérrez

Dirección General de Formación Continua de MAESTROS en Servicio

Leticia Gutiérrez Corona

Dirección General de Materiales Educativos

María Edith Bernáldez Reyes

Dirección General de Desarrollo de la Gestión e Innovación Educativa

Juan Martín Martínez Becerra

Dirección General de Educación Indígena

Rosalinda Morales Garza

PROGRAMAS
DE ESTUDIO 2011
GUÍA PARA EL MAESTRO
Educación Básica
Secundaria
Matemáticas

Programas de estudio 2011. Guía para el Maestro. Educación Básica. Secundaria. Matemáticas fue elaborado por personal académico de
la Dirección General de Desarrollo Curricular (DGDC) y de la Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio (DGFCMS),
que pertenecen a la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública.
La Secretaría de Educación Pública agradece la participación, en la elaboración de este documento, de las maestras y los maestros
de educación secundaria, especial e indígena, los directivos, los coordinadores estatales de Asesoría y Seguimiento, los responsables de
Educación Especial, los responsables de Educación Indígena, y el personal técnico y de apoyo de las entidades federativas, así como las
aportaciones de académicos y especialistas de instituciones educativas nacionales y de otros países.

PROGRAMAS DE ESTUDIO 2011

GUÍA PARA EL MAESTRO

Coordinación general DGDC
Leopoldo Felipe Rodríguez Gutiérrez

Coordinación general DGFCMS
Leticia Gutiérrez Corona

Coordinación académica
Noemí García García

Coordinación académica
Jesús Pólito Olvera y Adriana Goretty López Gamboa

Responsable de contenidos
Hugo Balbuena Corro

RESPONSABLES DE CONTENIDOS
Rosa María Farfán Márquez, Gisela Montiel Espinosa
y Gabriela Buendía Ábalos

REVISIÓN TÉCNICO-PEDAGÓGICA
Enrique Morales Espinosa, Rosa María Nicolás Mora
y Natividad Rojas Velázquez

COLABORADORES
Daniela Reyes Gasperini, Rubén Alejandro Gutiérrez
Adrián, Adriana Moreno Valdez, Claudia Yahaira Balam
Güemez y Rebeca Flores García

Coordinación editorial
Gisela L. Galicia

COORDINACIÓN DE DISEÑO
Mario Enrique Valdes Castillo

COORDINACIÓN DE DISEÑO
Marisol G. Martínez Fernández

CORRECCIÓN DE ESTILO
María del Socorro Martínez Cervantes

CORRECCIÓN DE ESTILO
Sonia Ramírez Fortiz

DISEÑO DE FORROS E INTERIORES
Mario Enrique Valdes Castillo

DISEÑO DE INTERIORES
Marisol G. Martínez Fernández

FORMACIÓN
Edith Galicia De la Rosa y Abel Martínez Hernández

FORMACIÓN
Mauro Fco. Hernández Luna

PRIMERA edición, 2011
D. R. © Secretaría de Educación Pública, 2011, Argentina 28, Centro, C. P. 06020, Cuauhtémoc, México, D. F.
ISBN: en trámite
Impreso en México
MATERIAL GRATUITO/Prohibida su venta

Í ndice

Presentación

7

PROGRAMAS DE ESTUDIO 2011
Introducción

11

Propósitos

13

Estándares de Matemáticas

15

Enfoque didáctico

19

Organización de los aprendizajes

25

Primer grado

29

Segundo grado

37

Tercer grado

43

GUÍA PARA EL MAESTRO
Introducción

51

Enfoque del campo de formación

71

Planificación

77

Organización de ambientes de aprendizaje

79

Evaluación

85

Orientaciones pedagógicas y didácticas. Ejemplos concretos

91

Bibliografía

147

P resentación
7

L 

a Secretaría de Educación Pública, en el marco de la Reforma Integral de la Educación Básica (RIEB), pone en las manos de maestras y maestros los Programas

de estudio 2011. Guía para el Maestro. Educación Básica. Secundaria. Matemáticas.
Un pilar de la Articulación de la Educación Básica es la RIEB, que es congruente
con las características, los fines y los propósitos de la educación y del Sistema Educativo Nacional establecidos en los artículos Primero, Segundo y Tercero de la Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos y en la Ley General de Educación. Esto
se expresa en el Plan de estudios, los programas y las guías para los maestros de los
niveles de preescolar, primaria y secundaria.*
La Articulación de la Educación Básica se centra en los procesos de aprendizaje
de las alumnas y los alumnos, al atender sus necesidades específicas para que mejoren las competencias que permitan su desarrollo personal.
Los Programas de estudio 2011 contienen los propósitos, enfoques, Estándares
Curriculares y aprendizajes esperados, manteniendo su pertinencia, gradualidad y coherencia de sus contenidos, así como el enfoque inclusivo y plural que favorece el conoci-

* En los programas de estudio 2011 y las guías para las educadoras, las maestras y los maestros de educación preescolar, primaria y secundaria, la Secretaría de Educación Pública emplea los términos: niño(s),
adolescentes, jóvenes, alumno(s), educadora(s), maestro(s) y docente(s), aludiendo a ambos géneros, con
la finalidad de facilitar la lectura. Sin embargo, este criterio editorial no demerita los compromisos que la SEP
asume en cada una de las acciones y los planteamientos curriculares encaminados a consolidar la equidad
de género.

miento y aprecio de la diversidad cultural y lingüística de México; además, se centran en el
desarrollo de competencias con el fin de que cada estudiante pueda desenvolverse en una
sociedad que le demanda nuevos desempeños para relacionarse en un marco de pluralidad y democracia, y en un mundo global e interdependiente.
La Guía para maestras y maestros se constituye como un referente que permite
apoyar su práctica en el aula, que motiva la esencia del ser docente por su creatividad
y búsqueda de alternativas situadas en el aprendizaje de sus estudiantes.
La SEP tiene la certeza de que los Programas de estudio 2011. Guía para el Maestro. Educación Básica. Secundaria. Matemáticas será de utilidad para orientar el trabajo
en el aula de las maestras y los maestros de México, quienes a partir del trabajo colaborativo, el intercambio de experiencias docentes y el impacto en el logro educativo de
sus alumnos enriquecerán este documento y permitirá realizar un autodiagnóstico que
apoye y promueva las necesidades para la profesionalización docente.

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA

8

Programas
de estudio
2011

I ntroducción
11

L 

a Reforma Integral de la Educación Básica (RIEB) presenta áreas de oportuni-

dad que es importante identificar y aprovechar, para dar sentido a los esfuer-

zos acumulados y encauzar positivamente el ánimo de cambio y de mejora continua
con el que convergen en la educación las maestras y los maestros, las madres y
los padres de familia, las y los estudiantes, y una comunidad académica y social
realmente interesada en la Educación Básica.
Con el propósito de consolidar una ruta propia y pertinente para reformar la Educación Básica de nuestro país, durante la presente administración federal se ha desarrollado una política pública orientada a elevar la calidad educativa, que favorece la
articulación en el diseño y desarrollo del currículo para la formación de los alumnos de
preescolar, primaria y secundaria; coloca en el centro del acto educativo al alumno, el
logro de los aprendizajes, los Estándares Curriculares establecidos por periodos escolares, y favorece el desarrollo de competencias que le permitirán alcanzar el perfil de
egreso de la Educación Básica.
La RIEB culmina un ciclo de reformas curriculares en cada uno de los tres niveles
que integran la Educación Básica, que se inició en 2004 con la Reforma de Educación
Preescolar, continuó en 2006 con la de Educación Secundaria y en 2009 con la de
Educación Primaria, y consolida este proceso aportando una propuesta formativa pertinente, significativa, congruente, orientada al desarrollo de competencias y centrada
en el aprendizaje de las y los estudiantes.

La Reforma de la Educación Secundaria se sustenta en numerosas acciones, entre ellas: consultas con diversos actores, publicación de materiales, foros, encuentros,
talleres, reuniones nacionales, y seguimiento a las escuelas; se inició en el ciclo escolar
2004-2005, con la etapa de prueba en aula en 127 escuelas secundarias, de las cuales se
obtuvieron opiniones y sugerencias que permitieron fortalecer los programas.
La consolidación de la Reforma en Educación Secundaria ha planteado grandes
desafíos a los docentes y al personal directivo. El avance en este proceso de cambio
–y tomando en cuenta las opiniones y sugerencias del personal docente y directivo, derivadas de su experiencia al aplicar los programas de estudio 2006– requirió introducir
modificaciones específicas para contar hoy día con un currículo actualizado, congruente,
relevante, pertinente y articulado en relación con los niveles que le anteceden (preescolar
y primaria), sin alterar sus postulados y características esenciales; en este sentido, al
proceso se le da continuidad.
La acción de los docentes es un factor clave, porque son quienes generan ambientes propicios para el aprendizaje, plantean situaciones didácticas y buscan motivos
diversos para despertar el interés de los alumnos e involucrarlos en actividades que

12

les permitan avanzar en el desarrollo de sus competencias.
La RIEB reconoce, como punto de partida, una proyección de lo que es el país hacia
lo que queremos que sea, mediante el esfuerzo educativo, y asume que la Educación
Básica sienta las bases de lo que los mexicanos buscamos entregar a nuestros hijos: no
cualquier México, sino el mejor posible.
La Secretaría de Educación Pública valora la participación de docentes, directivos,
asesores técnico-pedagógicos, madres y padres de familia, y toda la sociedad, en el
desarrollo del proceso educativo, por lo que les invita a ponderar y respaldar los aportes de los Programas de estudio 2011 de Educación Secundaria en el desarrollo de las
niñas, los niños y los adolescentes de nuestro país.

P ropósitos
13

Propósitos del estudio de las Matemáticas
para la Educación Básica
Mediante el estudio de las Matemáticas en la Educación Básica se pretende que los
niños y adolescentes:
• Desarrollen formas de pensar que les permitan formular conjeturas y procedimientos para resolver problemas, y elaborar explicaciones para ciertos hechos numéricos o geométricos.

• Utilicen diferentes técnicas o recursos para hacer más eficientes los procedimientos de resolución.

• Muestren disposición para el estudio de la matemática y para el trabajo autónomo
y colaborativo.

Propósitos del estudio de las Matemáticas
para la educación secundaria
En esta fase de su educación, como resultado del estudio de las Matemáticas, se espera que los alumnos:
• Utilicen el cálculo mental, la estimación de resultados o las operaciones escritas
con números enteros, fraccionarios o decimales, para resolver problemas aditivos
y multiplicativos.

• Modelen y resuelvan problemas que impliquen el uso de ecuaciones hasta de segundo grado, de funciones lineales o de expresiones generales que definen patrones.

• Justifiquen las propiedades de rectas, segmentos, ángulos, triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares e irregulares, círculo, prismas, pirámides, cono, cilindro y
esfera.

• Utilicen el teorema de Pitágoras, los criterios de congruencia y semejanza, las razones trigonométricas y el teorema de Tales, al resolver problemas.

14

• Justifiquen y usen las fórmulas para calcular perímetros, áreas y volúmenes de
diferentes figuras y cuerpos, y expresen e interpreten medidas con distintos tipos
de unidad.

• Emprendan procesos de búsqueda, organización, análisis e interpretación de datos contenidos en tablas o gráficas de diferentes tipos, para comunicar información
que responda a preguntas planteadas por ellos mismos u otros. Elijan la forma de
organización y representación (tabular o gráfica) más adecuada para comunicar
información matemática.

• Identifiquen conjuntos de cantidades que varían o no proporcionalmente, y calculen
valores faltantes y porcentajes utilizando números naturales y fraccionarios como factores de proporcionalidad.

• Calculen la probabilidad de experimentos aleatorios simples, mutuamente excluyentes e independientes.

E stándares

de

M atemáticas
15

Los Estándares Curriculares de Matemáticas presentan la visión de una población que
sabe utilizar los conocimientos matemáticos. Comprenden el conjunto de aprendizajes
que se espera de los alumnos en los cuatro periodos escolares para conducirlos a altos
niveles de alfabetización matemática.
Se organizan en:
1. Sentido numérico y pensamiento algebraico
2. Forma, espacio y medida
3. Manejo de la información
4. Actitud hacia el estudio de las matemáticas
Su progresión debe entenderse como:
• Transitar del lenguaje cotidiano a un lenguaje matemático para explicar procedimientos y resultados.

• Ampliar y profundizar los conocimientos, de manera que se favorezca la comprensión y el uso eficiente de las herramientas matemáticas.

• Avanzar desde el requerimiento de ayuda al resolver problemas hacia el trabajo
autónomo.

Cuarto periodo escolar, al concluir el tercer grado
de secundaria, entre 14 y 15 años de edad
En este periodo los estándares están organizados en tres ejes temáticos: Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida, y Manejo de la información.
Al egresar del nivel de secundaria, los estudiantes saben efectuar cálculos con expresiones algebraicas, cuyos coeficientes sean números racionales, formulan ecuaciones o funciones para resolver problemas, calculan volúmenes y resuelven problemas
geométricos con apoyo de las propiedades de las figuras y cuerpos. Calculan porcentajes y probabilidades de eventos simples o compuestos, y comunican e interpretan
información mediante el uso de diferentes tipos de gráficas.
En este periodo se continúa promoviendo el desarrollo de actitudes y valores que
son parte esencial de la competencia matemática y que son el resultado de la metodología didáctica que se propone para estudiar matemáticas.

16

1. Sentido numérico y pensamiento algebraico
Este eje temático se subdivide en cuatro temas:
1.1. Números y sistemas de numeración.
1.2. Problemas aditivos.
1.3. Problemas multiplicativos.
1.4. Patrones y ecuaciones.
Los Estándares Curriculares para este eje temático son los siguientes. El alumno:
1.1.1. Resuelve problemas que implican convertir números fraccionarios a decimales y viceversa.
1.1.2. Resuelve problemas que implican calcular el mínimo común múltiplo o el
máximo común divisor.
1.2.1. Resuelve problemas aditivos que impliquen efectuar cálculos con expresiones algebraicas.
1.3.1. Resuelve problemas multiplicativos con expresiones algebraicas a excepción de la división entre polinomios.
1.4.1. Resuelve problemas que implican expresar y utilizar la regla general lineal o
cuadrática de una sucesión.

1.4.2. Resuelve problemas que involucran el uso de ecuaciones lineales o cuadráticas.

2. Forma, espacio y medida
Este eje temático se subdivide en dos temas:
2.1. Figuras y cuerpos.
2.2. Medida.
Los Estándares Curriculares para este eje temático son los siguientes. El alumno:
2.1.1. Resuelve problemas que implican construir círculos y polígonos regulares con base en información diversa, y usa las relaciones entre sus puntos y rectas notables.
2.1.2. Utiliza la regla y el compás para realizar diversos trazos, como alturas de
triángulos, mediatrices, rotaciones, simetrías, etcétera.
2.1.3. Resuelve problemas que impliquen aplicar las propiedades de la congruencia y la semejanza en diversos polígonos.
2.2.1. Calcula cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas de perímetro,
área y volumen.
2.2.2. Determina la medida de diversos elementos del círculo, como circunferencia,
superficie, ángulo inscrito y central, arcos de la circunferencia, sectores y coronas circulares.
2.2.3. Aplica el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas seno, coseno
y tangente en la resolución de problemas.

3. Manejo de la información
Este eje temático se subdivide en los siguientes temas:
3.1. Proporcionalidad y funciones.
3.2. Nociones de probabilidad.
3.3. Análisis y representación de datos.
Los Estándares Curriculares para este eje temático son los siguientes. El alumno:
3.1.1. Resuelve problemas vinculados a la proporcionalidad directa, inversa o múltiple, como porcentajes, escalas, interés simple o compuesto.

17

3.1.2. Expresa algebraicamente una relación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de
cantidades.
3.2.1. Calcula la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e
independientes.
3.3.1. Lee y representa información en diferentes tipos de gráficas; calcula y explica el
significado del rango y la desviación media.

4. Actitudes hacia el estudio de las matemáticas
Al término de la Educación Básica, el alumno:
4.1. Desarrolla un concepto positivo de sí mismo como usuario de las matemáticas, el gusto y la inclinación por comprender y utilizar la notación, el
vocabulario y los procesos matemáticos.

18

4.2. Aplica el razonamiento matemático a la solución de problemas personales,
sociales y naturales, aceptando el principio de que existen diversos procedimientos para resolver los problemas particulares.
4.3. Desarrolla el hábito del pensamiento racional y utiliza las reglas del debate
matemático al formular explicaciones o mostrar soluciones.
4.4. Comparte e intercambia ideas sobre los procedimientos y resultados al resolver problemas.

E nfoque

didáctico

19

L

a formación matemática que permite a los individuos enfrentar con éxito los problemas de la vida cotidiana depende en gran parte de los conocimientos adquiridos

y de las habilidades y actitudes desarrolladas durante la Educación Básica. La experiencia que vivan los alumnos al estudiar matemáticas en la escuela puede traer como
consecuencias: el gusto o el rechazo por ellas, la creatividad para buscar soluciones
o la pasividad para escucharlas y tratar de reproducirlas, la búsqueda de argumentos
para validar los resultados o la supeditación de éstos según el criterio del docente.
El planteamiento central en cuanto a la metodología didáctica que se sugiere para
el estudio de las Matemáticas, consiste en utilizar secuencias de situaciones problemáticas que despierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrar
diferentes formas de resolver los problemas y a formular argumentos que validen los
resultados. Al mismo tiempo, las situaciones planteadas deberán implicar justamente
los conocimientos y las habilidades que se quieren desarrollar.
Los avances logrados en el campo de la didáctica de la matemática en los últimos
años dan cuenta del papel determinante que desempeña el medio, entendido como
la situación o las situaciones problemáticas que hacen pertinente el uso de las herramientas matemáticas que se pretenden estudiar, así como los procesos que siguen los
alumnos para construir conocimientos y superar las dificultades que surgen en el pro-

ceso de aprendizaje. Toda situación problemática presenta obstáculos; sin embargo, la
solución no puede ser tan sencilla que quede fija de antemano, ni tan difícil que parezca
imposible de resolver por quien se ocupa de ella. La solución debe construirse en el
entendido de que existen diversas estrategias posibles y hay que usar al menos una.
Para resolver la situación, el alumno debe usar sus conocimientos previos, mismos que
le permiten entrar en la situación, pero el desafío consiste en reestructurar algo que ya
sabe, sea para modificarlo, ampliarlo, rechazarlo o para volver a aplicarlo en una nueva
situación.
El conocimiento de reglas, algoritmos, fórmulas y definiciones sólo es importante en la medida en que los alumnos lo puedan usar para solucionar problemas y reconstruir en caso de olvido; de ahí que su construcción amerite procesos de estudio
más o menos largos, que van de lo informal a lo convencional, tanto en relación con
el lenguaje como con las representaciones y procedimientos. La actividad intelectual
fundamental en estos procesos de estudio se apoya más en el razonamiento que en
la memorización; sin embargo, esto no significa que los ejercicios de práctica o el uso
de la memoria para guardar ciertos datos, como la transformación de fracciones a su

20

expresión decimal o los productos y cocientes de dos números enteros no se recomienden; al contrario, estas fases son necesarias para que los alumnos puedan invertir
en problemas más complejos.
A partir de esta propuesta, los alumnos y el docente se enfrentan a nuevos retos
que reclaman actitudes distintas frente al conocimiento matemático e ideas diferentes sobre lo que significa enseñar y aprender. No se trata de que el docente busque las
explicaciones más sencillas y amenas, sino de que analice y proponga problemas interesantes, debidamente articulados, para que los alumnos aprovechen lo que ya saben
y avancen en el uso de técnicas y razonamientos cada vez más eficaces.
Es posible que el planteamiento de ayudar a los alumnos a estudiar matemáticas,
con base en actividades de estudio sustentadas en situaciones problemáticas cuidadosamente seleccionadas, resultará extraño para muchos docentes compenetrados
con la idea de que su papel es enseñar, en el sentido de transmitir información. Sin
embargo, vale la pena intentarlo, ya que abre el camino para experimentar un cambio
radical en el ambiente del salón de clases; se notará que los alumnos piensan, comentan, discuten con interés y aprenden, mientras que el docente revalora su trabajo. Este
escenario no está exento de contrariedades, y para llegar a él hay que estar dispuesto
a superar grandes desafíos, como:
a) Lograr que los alumnos se acostumbren a buscar por su cuenta la manera de resolver los problemas que se les plantean, mientras el docente observa y cuestiona

a los equipos de trabajo, tanto para conocer los procedimientos y argumentos que
se ponen en práctica como para aclarar ciertas dudas, destrabar procesos y lograr que los alumnos puedan avanzar. Aunque, al principio, habrá desconcierto de
los alumnos y del docente, vale la pena insistir en que sean los primeros quienes
encuentren las soluciones. Pronto se empezará a notar un ambiente distinto en el
salón de clases; es decir, los alumnos compartirán sus ideas, habrá acuerdos y
desacuerdos, se expresarán con libertad y no habrá duda de que reflexionan en
torno al problema que tratan de resolver.
b) Acostumbrarlos a leer y analizar los enunciados de los problemas. Leer sin entender es una deficiencia muy común, cuya solución no corresponde sólo a la comprensión lectora de la asignatura de Español. Muchas veces los alumnos obtienen
resultados diferentes que no por ello son incorrectos, sino que corresponden a
una interpretación distinta del problema; por lo tanto, es necesario averiguar cómo
interpretan la información que reciben de manera oral o escrita.
c) Lograr que los alumnos aprendan a trabajar de manera colaborativa. Es importante
porque ofrece a los alumnos la posibilidad de expresar sus ideas y de enriquecerlas
con las opiniones de los demás, ya que desarrollan la actitud de colaboración y la
habilidad para argumentar; además, de esta manera se facilita la puesta en común
de los procedimientos que encuentran. Sin embargo, la actitud para trabajar de
manera colaborativa debe fomentarse por los docentes, además de insistir en que
cada integrante asuma la responsabilidad de la tarea que se trata de realizar, no
de manera individual sino colectiva; por ejemplo, si la tarea consiste en resolver
un problema, cualquier integrante del equipo debe estar en posibilidad de explicar
el procedimiento que utilizó.
d) Saber aprovechar el tiempo de la clase. Se suele pensar que si se pone en práctica
el enfoque didáctico, que consiste en plantear problemas a los alumnos para que
los resuelvan con sus propios medios, discutan y analicen sus procedimientos y
resultados, no alcanza el tiempo para concluir el programa; por lo tanto, se decide
continuar con el esquema tradicional en el cual el docente “da la clase”, mientras los
alumnos escuchan aunque no comprendan. La experiencia muestra que esta decisión conduce a tener que repetir, en cada grado escolar, mucho de lo que aparentemente se había aprendido; de manera que es más provechoso dedicar el tiempo
necesario para que los alumnos adquieran conocimientos con significado y desarrollen habilidades que les permitan resolver diversos problemas y seguir aprendiendo.
e) Superar el temor a no entender cómo piensan los alumnos. Cuando el docente explica
cómo se solucionan los problemas y los alumnos tratan de reproducir las explicaciones al resolver algunos ejercicios, se puede decir que la situación está bajo control.

21

Difícilmente surgirá en la clase algo distinto a lo que el docente ha explicado, incluso
muchas veces los alumnos manifiestan cierto temor de hacer algo diferente a lo que
hizo el docente. Sin embargo, cuando éste plantea un problema y lo deja en manos
de los alumnos, sin explicación previa de cómo se resuelve, usualmente surgen procedimientos y resultados diferentes, que son producto de cómo piensan los alumnos
y de lo que saben hacer. Ante esto, el verdadero desafío para los docentes consiste en
ayudar a los alumnos a analizar y socializar lo que produjeron.

Este rol es la esencia del trabajo docente como profesional de la educación en
la enseñanza de las Matemáticas. Ciertamente reclama un conocimiento profundo de la
didáctica de esta asignatura que “se hace al andar”, poco a poco, pero es lo que puede
convertir a la clase en un espacio social de construcción de conocimiento.
Con el enfoque didáctico que se sugiere se logra que los alumnos construyan
conocimientos y habilidades con sentido y significado, como saber calcular el volumen de cilindros o resolver problemas que implican el uso de ecuaciones; asimismo, un ambiente de trabajo que brinda a los alumnos, por ejemplo, la oportunidad

22

de aprender a enfrentar diferentes tipos de problemas, a formular argumentos, a
emplear distintas técnicas en función del problema que se trata de resolver, y a usar
el lenguaje matemático para comunicar o interpretar ideas.
Estos aprendizajes adicionales no se dan de manera espontánea, independientemente de cómo se estudia y se aprende la matemática. Por ejemplo, no se puede esperar
que los alumnos aprendan a formular argumentos si no se delega en ellos la responsabilidad de averiguar si los procedimientos o resultados, propios y de otros, son correctos
o incorrectos. Dada su relevancia para la formación de los alumnos, y siendo coherentes con la definición de competencia que se plantea en el Plan de estudios, en los programas de Matemáticas se utiliza el concepto de competencia matemática para designar a
cada uno de estos aspectos; en tanto que al formular argumentos, por ejemplo, se hace
uso de conocimientos y habilidades, pero también entran en juego las actitudes y los
valores, como aprender a escuchar a los demás y respetar sus ideas.

Competencias matemáticas
A continuación se describen cuatro competencias, cuyo desarrollo es importante durante la Educación Básica.
C ompetencias

matemáticas

Resolver problemas de manera autónoma. Implica que los alumnos sepan identificar, plantear y
resolver diferentes tipos de problemas o situaciones; por ejemplo, problemas con solución única, otros con varias soluciones o ninguna solución; problemas en los que sobren o falten datos;
problemas o situaciones en los que sean los alumnos quienes planteen las preguntas. Se trata
de que los alumnos sean capaces de resolver un problema utilizando más de un procedimiento,
reconociendo cuál o cuáles son más eficaces; o bien, que puedan probar la eficacia de un procedimiento al cambiar uno o más valores de las variables o el contexto del problema, para generalizar procedimientos de resolución.
Comunicar información matemática. Comprende la posibilidad de que los alumnos expresen,
representen e interpreten información matemática contenida en una situación o en un fenómeno.
Requiere que se comprendan y empleen diferentes formas de representar la información cualitativa y cuantitativa relacionada con la situación; se establezcan nexos entre estas representaciones;
se expongan con claridad las ideas matemáticas encontradas; se deduzca la información derivada de las representaciones y se infieran propiedades, características o tendencias de la situación
o del fenómeno representado.
Validar procedimientos y resultados. Consiste en que los alumnos adquieran la confianza suficiente para explicar y justificar los procedimientos y soluciones encontradas, mediante argumentos a
su alcance que se orienten hacia el razonamiento deductivo y la demostración formal.
Manejar técnicas eficientemente. Se refiere al uso eficiente de procedimientos y formas de representación que hacen los alumnos al efectuar cálculos, con o sin apoyo de calculadora. Muchas
veces el manejo eficiente o deficiente de técnicas establece la diferencia entre quienes resuelven
los problemas de manera óptima y quienes alcanzan una solución incompleta o incorrecta. Esta
competencia no se limita a usar de forma mecánica las operaciones aritméticas, sino que apunta principalmente al desarrollo del significado y uso de los números y de las operaciones, que se
manifiesta en la capacidad de elegir adecuadamente la o las operaciones al resolver un problema;
en la utilización del cálculo mental y la estimación; en el empleo de procedimientos abreviados
o atajos a partir de las operaciones que se requieren en un problema, y en evaluar la pertinencia
de los resultados. Para lograr el manejo eficiente de una técnica es necesario que los alumnos
la sometan a prueba en muchos problemas distintos; así adquirirán confianza en ella y la podrán
adaptar a nuevos problemas.

23

O rganización

de los aprendizajes

25

L

a asignatura de Matemáticas se organiza para su estudio en tres niveles de desglose. El primero corresponde a los ejes, el segundo a los temas y el tercero a los con-

tenidos. Para primaria y secundaria se consideran tres ejes, que son: Sentido numérico
y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida, y Manejo de la información.
Sentido numérico y pensamiento algebraico alude a los fines más relevantes del
estudio de la aritmética y del álgebra:
• La modelización de situaciones mediante el uso del lenguaje aritmético o algebraico.
• La generalización de propiedades aritméticas mediante el uso del álgebra.
• La puesta en juego de diferentes formas de representar y efectuar cálculos.
Forma, espacio y medida integra los tres aspectos esenciales alrededor de los
cuales gira el estudio de la geometría y la medición en la educación secundaria:
• La exploración de características y propiedades de las figuras y cuerpos geométricos.
• La generación de condiciones para un trabajo con características deductivas.
• La justificación de las fórmulas que se utilizan para el cálculo geométrico.
Manejo de la información incluye aspectos relacionados con el análisis de la información que proviene de distintas fuentes y su uso para la toma de decisiones informada, de manera que se orienta hacia:

• La búsqueda, la organización, el análisis y la presentación de información para
responder preguntas.

• El uso eficiente de la herramienta aritmética o algebraica que se vincula de manera
directa con el manejo de la información.

• El conocimiento de los principios básicos de la aleatoriedad.
En este eje se incluye la proporcionalidad porque provee de nociones y técnicas
que constituyen herramientas útiles para interpretar y comunicar información, como el
porcentaje y la razón.
¿Por qué ejes y no ámbitos en el caso de Matemáticas? Porque un eje se refiere,
entre otras cosas, a la dirección o rumbo de una acción. Al decir sentido numérico y
pensamiento algebraico, por ejemplo, se quiere destacar que lo que dirige el estudio
de aritmética y álgebra (que son ámbitos de la matemática) es el desarrollo del sentido numérico y del pensamiento algebraico, lo cual implica que los alumnos sepan
utilizar los números y las operaciones en distintos contextos, y tengan la posibilidad
de modelizar situaciones y resolverlas; es decir, que puedan expresarlas en lenguaje

26

matemático, efectuar los cálculos necesarios y obtener un resultado que cumpla con
las condiciones establecidas.
De cada uno de los ejes se desprenden varios temas y para cada uno hay una
secuencia de contenidos que van de menor a mayor dificultad. Los temas son grandes
ideas matemáticas cuyo estudio requiere un desglose más fino (los contenidos), y varios grados o incluso niveles de escolaridad. En el caso de la educación secundaria se
consideran nueve temas, y la mayoría inicia desde la educación primaria. Dichos temas
son: Números y sistemas de numeración, Problemas aditivos, Problemas multiplicativos, Patrones y ecuaciones, Figuras y cuerpos, Medida, Proporcionalidad y funciones,
Nociones de probabilidad, y Análisis y representación de datos.
Los contenidos son aspectos muy concretos que se desprenden de los temas, cuyo
estudio requiere de entre dos y cinco sesiones de clase. El tiempo de estudio hace referencia a la fase de reflexión, análisis, aplicación y construcción del conocimiento en cuestión,
pero además hay un tiempo más largo en el que se usa este conocimiento, se relaciona con
otros conocimientos y se consolida para constituirse en saber o saber hacer.
Además de los ejes, temas y contenidos, existe un elemento más que forma parte
de la estructura de los programas que son los aprendizajes esperados y se enuncian en
la primera columna de cada bloque temático. Estos aprendizajes señalan, de manera
sintética, los conocimientos y las habilidades que todos los alumnos deben alcanzar
como resultado del estudio de varios contenidos, incluidos o no en el bloque en cuestión. Los aprendizajes esperados no se corresponden uno a uno con los contenidos del
bloque debido a que estos últimos constituyen procesos de estudio que en algunos
casos trascienden el bloque e incluso el grado, mientras que los aprendizajes espera-

dos son saberes que se construyen como resultado de los procesos de estudio mencionados. Ejemplos claros son los aprendizajes esperados que se refieren al uso de los
algoritmos convencionales de las operaciones, que tienen como sustrato el estudio de
varios contenidos que no se reflejan como aprendizajes esperados.
Aunque no todos los contenidos se reflejan como aprendizajes esperados, es importante estudiarlos todos para garantizar que los alumnos vayan encontrando sentido
a lo que aprenden y puedan emplear diferentes recursos, de lo contrario se corre el
riesgo de que lleguen a utilizar técnicas sin saber por qué o para qué sirven.
En los cinco bloques que comprende cada programa, los contenidos se organizaron de tal manera que los alumnos vayan accediendo a ideas y recursos matemáticos
cada vez más complejos, a la vez que puedan relacionar lo que ya saben con lo que
están por aprender. Sin embargo, es probable que haya otros criterios para establecer
la secuenciación y, por lo tanto, los contenidos no tienen un orden rígido.
Como se observa en las siguientes tablas, en todos los bloques se incluyen contenidos de los tres ejes, lo que tiene dos finalidades importantes; la primera es que los
temas se estudien simultáneamente a lo largo del curso, evitando así que algunos sólo
aparezcan al final del programa, con alta probabilidad de que no se estudien; la segunda es que pueda vincularse el estudio de temas que corresponden a diferentes ejes,
para lograr que los alumnos tengan una visión global de la matemática.

27

Primer grado

Bloque I
Competencias

que se favorecen: Resolver

problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y
resultados • Manejar técnicas eficientemente

E jes
A prendizajes

esperados

• Convierte números
fraccionarios a decimales
y viceversa.
• Conoce y utiliza las
convenciones para
representar números
fraccionarios y decimales
en la recta numérica.
• Representa sucesiones de
números o de figuras a partir
de una regla dada y viceversa.

S entido numérico
y pensamiento algebraico
N úmeros

y sistemas de
numeración

• Conversión de fracciones
decimales y no decimales a su
escritura decimal y viceversa.
• Representación de números
fraccionarios y decimales
en la recta numérica a partir
de distintas informaciones,
analizando las convenciones
de esta representación.

P roblemas

F orma ,
F iguras

espacio y medida

y cuerpos

• Trazo de triángulos y
cuadriláteros mediante el uso
del juego de geometría.
• Trazo y análisis de las
propiedades de las alturas,
medianas, mediatrices y
bisectrices en un triángulo.

M anejo

de la información

P roporcionalidad

y funciones

• Resolución de problemas
de reparto proporcional.

N ociones

de probabilidad

• Identificación y práctica de
juegos de azar sencillos y
registro de los resultados.
Elección de estrategias
en función del análisis de
resultados posibles.

aditivos

• Resolución y planteamiento
de problemas que impliquen
más de una operación de
suma y resta de fracciones.

P atrones

31

y ecuaciones

• Construcción de sucesiones
de números o de figuras
a partir de una regla dada en
lenguaje común. Formulación
en lenguaje común de
expresiones generales
que definen las reglas de
sucesiones con progresión
aritmética o geométrica, de
números y de figuras.
• Explicación del significado
de fórmulas geométricas, al
considerar las literales como
números generales con los
que es posible operar.

PRIMER GRADO

Bloque II
Competencias

que se favorecen: Resolver

problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y
resultados • Manejar técnicas eficientemente

E jes
A prendizajes

esperados

• Resuelve problemas utilizando
el máximo común divisor y el
mínimo común múltiplo.
• Resuelve problemas
geométricos que impliquen el
uso de las propiedades de las
alturas, medianas, mediatrices
y bisectrices en triángulos y
cuadriláteros.

S entido numérico
y pensamiento algebraico
N úmeros

y sistemas de
numeración

• Formulación de los criterios
de divisibilidad entre 2, 3 y 5.
Distinción entre números
primos y compuestos.
• Resolución de problemas
que impliquen el cálculo del
máximo común divisor y el
mínimo común múltiplo.

P roblemas

aditivos

• Resolución de problemas
aditivos en los que se
combinan números
fraccionarios y decimales
en distintos contextos,
empleando los algoritmos
convencionales.

32

P roblemas

multiplicativos

• Resolución de problemas
que impliquen la multiplicación
y división con números
fraccionarios en distintos
contextos, utilizando los
algoritmos usuales.

PRIMER GRADO

F orma ,
F iguras

espacio y medida

y cuerpos

• Resolución de problemas
geométricos que impliquen el
uso de las propiedades de la
mediatriz de un segmento y
la bisectriz de un ángulo.

M edida
• Justificación de las fórmulas
de perímetro y área de
polígonos regulares, con
apoyo de la construcción y
transformación de figuras.

M anejo

de la información

P roporcionalidad

y funciones

• Identificación y resolución
de situaciones de
proporcionalidad directa
del tipo “valor faltante”
en diversos contextos,
con factores constantes
fraccionarios.

Bloque III
Competencias

que se favorecen: Resolver

problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y
resultados • Manejar técnicas eficientemente

E jes
A prendizajes

esperados

• Resuelve problemas
que implican efectuar
multiplicaciones o divisiones
con fracciones y números
decimales.
• Resuelve problemas
que impliquen el uso de
ecuaciones de las formas:
x + a = b; ax = b y ax + b = c,
donde a, b y c son números
naturales y/o decimales.
• Resuelve problemas que
implican el cálculo de
cualquiera de las variables
de las fórmulas para calcular
el perímetro y el área de
triángulos, cuadriláteros y
polígonos regulares. Explica
la relación que existe entre
el perímetro y el área de las
figuras.

S entido numérico
y pensamiento algebraico
P roblemas

multiplicativos

• Resolución de problemas que
impliquen la multiplicación
de números decimales en
distintos contextos, utilizando
el algoritmo convencional.
• Resolución de problemas
que impliquen la división
de números decimales en
distintos contextos, utilizando
el algoritmo convencional.

P atrones

y ecuaciones

• Resolución de problemas que
impliquen el planteamiento y
la resolución de ecuaciones
de primer grado de la forma
x + a = b; ax = b;
ax + b = c, utilizando las
propiedades de la igualdad,
con a, b y c números
naturales, decimales o
fraccionarios.

F orma ,
F iguras

espacio y medida

y cuerpos

• Construcción de polígonos
regulares a partir de distintas
informaciones (medida de
un lado, del ángulo interno,
ángulo central). Análisis de
la relación entre los elementos
de la circunferencia y el
polígono inscrito en ella.

M anejo

P roporcionalidad

• Resolución de problemas que
impliquen calcular el perímetro
y el área de polígonos
regulares.

y funciones

• Formulación de explicaciones
sobre el efecto de la aplicación
sucesiva de factores
constantes de
proporcionalidad en
situaciones dadas.

N ociones
M edida

de la información

de probabilidad

• Anticipación de resultados
de una experiencia aleatoria,
su verificación al realizar el
experimento y su registro en
una tabla de frecuencias.

A nálisis

y representación

de datos

• Lectura y comunicación de
información mediante el uso
de tablas de frecuencia
absoluta y relativa.

PRIMER GRADO

33

Bloque IV
Competencias

que se favorecen: Resolver

problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y
resultados • Manejar técnicas eficientemente

E jes
A prendizajes

esperados

• Construye círculos y polígonos
regulares que cumplan con
ciertas condiciones
establecidas.
• Lee información presentada
en gráficas de barras y
circulares. Utiliza estos tipos
de gráficas para comunicar
información.

34

S entido numérico
y pensamiento algebraico
N úmeros

y sistemas de
numeración

• Planteamiento y resolución
de problemas que impliquen
la utilización de números
enteros, fraccionarios
o decimales positivos y
negativos.

F orma ,
F iguras

espacio y medida

y cuerpos

• Construcción de círculos a
partir de diferentes datos (el
radio, una cuerda, tres puntos
no alineados, etc.) o que
cumplan condiciones dadas.

M edida
• Justificación de la fórmula
para calcular la longitud
de la circunferencia y el
área del círculo (gráfica
y algebraicamente).
Explicitación del número π
(pi) como la razón entre la
longitud de la circunferencia
y el diámetro.

M anejo

de la información

P roporcionalidad

y funciones

• Análisis de la regla de tres,
empleando valores enteros o
fraccionarios.
• Análisis de los efectos del
factor inverso en una relación
de proporcionalidad, en
particular en una reproducción
a escala.

N ociones

de probabilidad

• Resolución de problemas de
conteo mediante diversos
procedimientos. Búsqueda
de recursos para verificar los
resultados.

A nálisis

y representación

de datos

• Lectura de información
representada en gráficas
de barras y circulares,
provenientes de diarios o
revistas y de otras fuentes.
Comunicación de información
proveniente de estudios
sencillos, eligiendo la
representación gráfica más
adecuada.

PRIMER GRADO

Bloque V
Competencias

que se favorecen: Resolver

problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y
resultados • Manejar técnicas eficientemente

E jes
A prendizajes

esperados

S entido numérico
y pensamiento algebraico

• Resuelve problemas
aditivos que implican el
uso de números enteros,
fraccionarios o decimales
positivos y negativos.

P roblemas

• Resuelve problemas que
impliquen el cálculo de la
raíz cuadrada y potencias
de números naturales
y decimales.

P roblemas

• Resuelve problemas de
proporcionalidad directa del
tipo “valor faltante”, en los que
la razón interna o externa es
un número fraccionario.

aditivos

• Resolución de problemas que
implican el uso de sumas y
restas de números enteros.

F orma ,

espacio y medida

M anejo

de la información

M edida

P roporcionalidad

• Uso de las fórmulas para
calcular el perímetro y el área
del círculo en la resolución de
problemas.

• Resolución de problemas de
proporcionalidad múltiple.

y funciones

multiplicativos

• Uso de la notación científica
para realizar cálculos en los
que intervienen cantidades
muy grandes o muy
pequeñas.
• Resolución de problemas que
impliquen el cálculo de la raíz
cuadrada (diferentes métodos)
y la potencia de exponente
natural de números naturales
y decimales.

P atrones

35

y ecuaciones

• Obtención de la regla general
(en lenguaje algebraico) de
una sucesión con progresión
aritmética.

PRIMER GRADO

Segundo grado

Bloque I
Competencias

que se favorecen: Resolver

problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y
resultados • Manejar técnicas eficientemente

E jes
A prendizajes

esperados

• Resuelve problemas que
implican el uso de las leyes
de los exponentes y de la
notación científica.
• Resuelve problemas que
impliquen calcular el área y
el perímetro del círculo.

38

• Resuelve problemas que
implican el cálculo de
porcentajes o de cualquier
término de la relación:
Porcentaje = cantidad base ×
tasa. Inclusive problemas que
requieren de procedimientos
recursivos.
• Compara cualitativamente
la probabilidad de eventos
simples.

S entido numérico
y pensamiento algebraico
P roblemas

multiplicativos

• Resolución de multiplicaciones
y divisiones con números
enteros.
• Cálculo de productos y
cocientes de potencias
enteras positivas de la misma
base y potencias de una
potencia. Significado
de elevar un número natural
a una potencia de exponente
negativo.

F orma ,
F iguras

espacio y medida

y cuerpos

• Identificación de relaciones
entre los ángulos que se
forman entre dos rectas
paralelas cortadas por una
transversal. Justificación
de las relaciones entre las
medidas de los ángulos
interiores de los triángulos y
paralelogramos.
• Construcción de triángulos
con base en ciertos datos.
Análisis de las condiciones de
posibilidad y unicidad en las
construcciones.

M edida
• Resolución de problemas
que impliquen el cálculo de
áreas de figuras compuestas,
incluyendo áreas laterales
y totales de prismas y
pirámides.

M anejo

de la información

P roporcionalidad

y funciones

• Resolución de problemas
diversos relacionados con
el porcentaje, como aplicar
un porcentaje a una cantidad;
determinar qué porcentaje
representa una cantidad
respecto a otra, y obtener una
cantidad conociendo una parte
de ella y el porcentaje que
representa.
• Resolución de problemas
que impliquen el cálculo
de interés compuesto,
crecimiento poblacional u otros
que requieran procedimientos
recursivos.

N ociones

de probabilidad

• Comparación de dos o
más eventos a partir de sus
resultados posibles, usando
relaciones como:
“es más probable que…”,
“es menos probable que…”.

A nálisis

y representación

de datos

• Análisis de casos en los que
la media aritmética o mediana
son útiles para comparar dos
conjuntos de datos.

SEGUNDO GRADO

Bloque II
Competencias

que se favorecen: Resolver

problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y
resultados • Manejar técnicas eficientemente

E jes
A prendizajes

esperados

• Resuelve problemas aditivos
con monomios y polinomios.
• Resuelve problemas en los
que sea necesario calcular
cualquiera de las variables de
las fórmulas para obtener el
volumen de cubos, prismas
y pirámides rectos. Establece
relaciones de variación entre
dichos términos.

S entido numérico
y pensamiento algebraico
P roblemas

aditivos

• Resolución de problemas
que impliquen adición y
sustracción de monomios.
• Resolución de problemas
que impliquen adición y
sustracción de polinomios.

P roblemas

multiplicativos

• Identificación y búsqueda
de expresiones algebraicas
equivalentes a partir
del empleo de modelos
geométricos.

F orma ,

espacio y medida

M anejo

de la información

M edida

P roporcionalidad

• Justificación de las fórmulas
para calcular el volumen de
cubos, prismas y pirámides
rectos.
• Estimación y cálculo del
volumen de cubos, prismas
y pirámides rectos o de
cualquier término implicado
en las fórmulas. Análisis de las
relaciones de variación entre
diferentes medidas de prismas
y pirámides.

• Identificación y resolución
de situaciones de
proporcionalidad inversa
mediante diversos
procedimientos.

N ociones

y funciones

de probabilidad

• Realización de experimentos
aleatorios y registro
de resultados para un
acercamiento a la probabilidad
frecuencial. Relación de ésta
con la probabilidad teórica.

SEGUNDO GRADO

39

Bloque III
Competencias

que se favorecen: Resolver

problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y
resultados • Manejar técnicas eficientemente

E jes
A prendizajes

esperados

• Resuelve problemas
que implican efectuar
multiplicaciones o divisiones
con expresiones algebraicas.
• Justifica la suma de los
ángulos internos de cualquier
triángulo o polígono y
utiliza esta propiedad en la
resolución de problemas.
• Resuelve problemas que
implican usar la relación entre
unidades cúbicas y unidades
de capacidad.

40

• Lee y comunica información
mediante histogramas y
gráficas poligonales.

SEGUNDO GRADO

S entido numérico
y pensamiento algebraico
P roblemas

multiplicativos

• Resolución de cálculos
numéricos que implican usar
la jerarquía de las operaciones
y los paréntesis, si fuera
necesario, en problemas y
cálculos con números enteros,
decimales y fraccionarios.
• Resolución de problemas
multiplicativos que impliquen
el uso de expresiones
algebraicas, a excepción de la
división entre polinomios.

F orma ,
F iguras

espacio y medida

y cuerpos

• Formulación de una regla
que permita calcular la suma
de los ángulos interiores de
cualquier polígono.
• Análisis y explicitación de
las características de los
polígonos que permiten cubrir
el plano.

M anejo

P roporcionalidad

• Relación entre el decímetro
cúbico y el litro. Deducción
de otras equivalencias entre
unidades de volumen y
capacidad para líquidos y
otros materiales. Equivalencia
entre unidades del Sistema
Internacional de Medidas y
algunas unidades socialmente
conocidas, como barril,
quilates, quintales, etcétera.

y funciones

• Representación algebraica
y análisis de una relación
de proporcionalidad y = kx,
asociando los significados
de las variables con las
cantidades que intervienen
en dicha relación.

A nálisis
M edida

de la información

y representación

de datos

• Búsqueda, organización y
presentación de información
en histogramas o en gráficas
poligonales (de series de
tiempo o de frecuencia),
según el caso y análisis de la
información que proporcionan.
• Análisis de propiedades de
la media y mediana.

Bloque IV
Competencias

que se favorecen: Resolver

problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y
resultados • Manejar técnicas eficientemente

E jes
A prendizajes

esperados

• Representa sucesiones de
números enteros a partir de
una regla dada y viceversa.
• Resuelve problemas
que impliquen el uso de
ecuaciones de la forma:
ax + b = cx + d, donde los
coeficientes son números
enteros, fraccionarios o
decimales, positivos y
negativos.
• Identifica, interpreta y expresa
relaciones de proporcionalidad
directa o inversa,
algebraicamente o mediante
tablas y gráficas.
• Resuelve problemas que
implican calcular, interpretar y
explicitar las propiedades de
la media y la mediana.

S entido numérico
y pensamiento algebraico
P atrones

y ecuaciones

• Construcción de sucesiones
de números enteros a partir de
las reglas algebraicas que las
definen. Obtención de la
regla general (en lenguaje
algebraico) de una sucesión
con progresión aritmética de
números enteros.
• Resolución de problemas que
impliquen el planteamiento y
la resolución de ecuaciones
de primer grado de la
forma: ax + b = cx + d y con
paréntesis en uno o en ambos
miembros de la ecuación,
utilizando coeficientes enteros,
fraccionarios o decimales,
positivos y negativos.

F orma ,

espacio y medida

M anejo

de la información

M edida

P roporcionalidad

• Caracterización de ángulos
inscritos y centrales en
un círculo, y análisis de sus
relaciones.

• Análisis de las características
de una gráfica que
represente una relación de
proporcionalidad en el plano
cartesiano.
• Análisis de situaciones
problemáticas asociadas a
fenómenos de la física, la
biología, la economía y otras
disciplinas, en las que existe
variación lineal entre dos
conjuntos de cantidades.
Representación de la variación
mediante una tabla o una
expresión algebraica de
la forma: y = ax + b.

A nálisis

y funciones

y representación

de datos

• Resolución de situaciones
de medias ponderadas.

SEGUNDO GRADO

41

Bloque V
Competencias

que se favorecen: Resolver

problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y
resultados • Manejar técnicas eficientemente

E jes
A prendizajes

esperados

• Resuelve problemas que
implican el uso de sistemas
de dos ecuaciones lineales
con dos incógnitas.
• Construye figuras simétricas
respecto de un eje e identifica
las propiedades de la figura
original que se conservan.

42

• Resuelve problemas que
implican determinar la medida
de diversos elementos del
círculo, como: ángulos
inscritos y centrales, arcos de
una circunferencia, sectores y
coronas circulares.
• Explica la relación que
existe entre la probabilidad
frecuencial y
la probabilidad teórica.

SEGUNDO GRADO

S entido numérico
y pensamiento algebraico
P atrones

y ecuaciones

• Resolución de problemas que
impliquen el planteamiento y
la resolución de un sistema
de ecuaciones 2 × 2 con
coeficientes enteros, utilizando
el método más pertinente
(suma y resta, igualación o
sustitución).
• Representación gráfica de un
sistema de ecuaciones 2 × 2
con coeficientes enteros.
Reconocimiento del punto de
intersección de sus gráficas
como la solución del sistema.

F orma ,
F iguras

espacio y medida

y cuerpos

M anejo

de la información

P roporcionalidad

y funciones

• Construcción de figuras
simétricas respecto de un
eje, análisis y explicitación
de las propiedades que
se conservan en figuras
como: triángulos isósceles
y equiláteros, rombos,
cuadrados y rectángulos.

• Lectura y construcción
de gráficas de funciones
lineales asociadas a diversos
fenómenos.
• Análisis de los efectos al
cambiar los parámetros de
la función y = mx + b, en la
gráfica correspondiente.

M edida

N ociones

• Cálculo de la medida de
ángulos inscritos y centrales,
así como de arcos, el área
de sectores circulares y de
la corona.

• Comparación de las gráficas
de dos distribuciones
(frecuencial y teórica) al realizar
muchas veces un experimento
aleatorio.

de probabilidad

Tercer grado

Bloque I
Competencias

que se favorecen: Resolver

problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y
resultados • Manejar técnicas eficientemente

E jes
A prendizajes

esperados

• Explica la diferencia entre
eventos complementarios,
mutuamente excluyentes e
independientes.

44

S entido numérico
y pensamiento algebraico
P atrones

y ecuaciones

• Resolución de problemas
que impliquen el uso de
ecuaciones cuadráticas
sencillas, utilizando
procedimientos personales u
operaciones inversas.

F orma ,
F iguras

espacio y medida

y cuerpos

• Construcción de figuras
congruentes o semejantes
(triángulos, cuadrados y
rectángulos) y análisis de
sus propiedades.
• Explicitación de los criterios de
congruencia y semejanza
de triángulos a partir de
construcciones con
información determinada.

M anejo

de la información

P roporcionalidad

y funciones

• Análisis de representaciones
(gráficas, tabulares y
algebraicas) que corresponden
a una misma situación.
Identificación de las que
corresponden a una relación
de proporcionalidad.
• Representación tabular y
algebraica de relaciones
de variación cuadrática,
identificadas en diferentes
situaciones y fenómenos de la
física, la biología, la economía
y otras disciplinas.

N ociones

de probabilidad

• Conocimiento de la escala de
la probabilidad. Análisis de las
características de eventos
complementarios y eventos
mutuamente excluyentes e
independientes.

A nálisis

y representación

de datos

• Diseño de una encuesta o un
experimento e identificación
de la población en estudio.
Discusión sobre las formas de
elegir el muestreo. Obtención
de datos de una muestra y
búsqueda de herramientas
convenientes para su
presentación.

TERCER GRADO

Bloque II
Competencias

que se favorecen: Resolver

problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y
resultados • Manejar técnicas eficientemente

E jes
A prendizajes

esperados

• Explica el tipo de
transformación (reflexión,
rotación o traslación) que
se aplica a una figura para
obtener la figura transformada.
Identifica las propiedades que
se conservan.
• Resuelve problemas que
implican el uso del teorema
de Pitágoras.

S entido numérico
y pensamiento algebraico
P atrones

y ecuaciones

• Uso de ecuaciones
cuadráticas para modelar
situaciones y resolverlas
usando la factorización.

F orma ,
F iguras

espacio y medida

y cuerpos

• Análisis de las propiedades de
la rotación y de la traslación
de figuras.
• Construcción de diseños
que combinan la simetría
axial y central, la rotación y la
traslación de figuras.

M anejo
N ociones

de la información
de probabilidad

• Cálculo de la probabilidad de
ocurrencia de dos eventos
mutuamente excluyentes y
de eventos complementarios
(regla de la suma).

M edida
• Análisis de las relaciones entre
las áreas de los cuadrados
que se construyen sobre
los lados de un triángulo
rectángulo.
• Explicitación y uso del
teorema de Pitágoras.

45

TERCER GRADO

Bloque III
Competencias

que se favorecen: Resolver

problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y
resultados • Manejar técnicas eficientemente

E jes
A prendizajes

esperados

• Resuelve problemas que
implican el uso de ecuaciones
de segundo grado.
• Resuelve problemas de
congruencia y semejanza
que implican utilizar estas
propiedades en triángulos o
en cualquier figura.

S entido numérico
y pensamiento algebraico
P atrones

y ecuaciones

• Resolución de problemas que
implican el uso de ecuaciones
cuadráticas. Aplicación de la
fórmula general para resolver
dichas ecuaciones.

F orma ,
F iguras

espacio y medida

y cuerpos

• Aplicación de los criterios de
congruencia y semejanza
de triángulos en la
resolución de problemas.
• Resolución de problemas
geométricos mediante el
teorema de Tales.
• Aplicación de la semejanza
en la construcción de figuras
homotéticas.

M anejo

P roporcionalidad

y funciones

• Lectura y construcción
de gráficas de funciones
cuadráticas para modelar
diversas situaciones o
fenómenos.
• Lectura y construcción
de gráficas formadas por
secciones rectas y curvas
que modelan situaciones
de movimiento, llenado de
recipientes, etcétera.

N ociones

46

de la información

de probabilidad

• Cálculo de la probabilidad de
ocurrencia de dos eventos
independientes (regla del
producto).

TERCER GRADO

Bloque IV
Competencias

que se favorecen: Resolver

problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y
resultados • Manejar técnicas eficientemente

E jes
A prendizajes

esperados

• Utiliza en casos sencillos
expresiones generales
cuadráticas para definir el
enésimo término de una
sucesión.
• Resuelve problemas que
implican el uso de las razones
trigonométricas seno, coseno
y tangente.
• Calcula y explica el significado
del rango y la desviación
media.

S entido numérico
y pensamiento algebraico
P atrones

y ecuaciones

• Obtención de una expresión
general cuadrática para definir
el enésimo término de una
sucesión.

F orma ,
F iguras

espacio y medida

y cuerpos

M anejo

de la información

P roporcionalidad

y funciones

• Análisis de las características
de los cuerpos que se
generan al girar sobre un eje,
un triángulo rectángulo, un
semicírculo y un rectángulo.
Construcción de desarrollos
planos de conos y cilindros
rectos.

• Cálculo y análisis de la razón
de cambio de un proceso
o fenómeno que se modela
con una función lineal.
Identificación de la relación
entre dicha razón y
la inclinación o pendiente
de la recta que la representa.

M edida

A nálisis

• Análisis de las relaciones entre
el valor de la pendiente de una
recta, el valor del ángulo que
se forma con la abscisa y el
cociente del cateto opuesto
sobre el cateto adyacente.
• Análisis de las relaciones
entre los ángulos agudos y los
cocientes entre los lados de
un triángulo rectángulo.
• Explicitación y uso de las
razones trigonométricas seno,
coseno y tangente.

de datos

y representación

• Medición de la dispersión
de un conjunto de datos
mediante el promedio de las
distancias de cada dato a la
media (desviación media).
Análisis de las diferencias de
la “desviación media” con el
“rango” como medidas de la
dispersión.

TERCER GRADO

47

Bloque V
Competencias

que se favorecen: Resolver

problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y
resultados • Manejar técnicas eficientemente

E jes
A prendizajes

esperados

• Resuelve y plantea
problemas que involucran
ecuaciones lineales, sistemas
de ecuaciones y ecuaciones
de segundo grado.

48

• Resuelve problemas que
implican calcular el volumen
de cilindros y conos o
cualquiera de las variables
que intervienen en las
fórmulas que se utilicen.
Anticipa cómo cambia el
volumen al aumentar o
disminuir alguna de las
dimensiones.
• Lee y representa, gráfica y
algebraicamente, relaciones
lineales y cuadráticas.
• Resuelve problemas
que implican calcular la
probabilidad de eventos
complementarios,
mutuamente excluyentes
e independientes.

TERCER GRADO

S entido numérico
y pensamiento algebraico
P atrones

y ecuaciones

• Resolución de problemas que
implican el uso de ecuaciones
lineales, cuadráticas o
sistemas de ecuaciones.
Formulación de
problemas a partir de
una ecuación dada.

F orma ,

espacio y medida

M anejo

de la información

M edida

P roporcionalidad

• Análisis de las secciones que
se obtienen al realizar cortes a
un cilindro o a un cono recto.
Cálculo de las medidas de
los radios de los círculos que
se obtienen al hacer cortes
paralelos en un cono recto.
• Construcción de las fórmulas
para calcular el volumen de
cilindros y conos, tomando
como referencia las fórmulas
de prismas y pirámides.
• Estimación y cálculo del
volumen de cilindros y conos
o de cualquiera de
las variables implicadas
en las fórmulas.

• Análisis de situaciones
problemáticas asociadas a
fenómenos de la física, la
biología, la economía y otras
disciplinas, en las que existe
variación lineal o cuadrática
entre dos conjuntos de
cantidades.

N ociones

y funciones

de probabilidad

• Análisis de las condiciones
necesarias para que un juego
de azar sea justo, con base
en la noción de resultados
equiprobables y
no equiprobables.

Guía para
el Maestro