a

m
Te

P
Quinto grado de secundaria

1. Si se tiene



∼ p q ≡ {(∼ p → q) → p} ∧ ∼ q,

B) 5/96

C) 3/8

D) 5/32

reduzca



E =((p ↔ ∼ q) ∼ p) (q → p).

A) ∼ p

B) ∼ p ∨ q

C) q ∧ ∼ p

D) q ∧ p

4. Resuelva la desigualdad




2. Se tiene la siguiente tabla de distribución de frecuencia
de igual ancho de clase.

Ii

fi

[ -

〉

x

[44 -

〉

2y

[ -

〉

10

[ - 59〉

3y

〉

2x

[

A) 5/144

B) 42,4

C) 43,6

D) 44,2

3. Se tiene dos urnas; cada una contiene fichas rojas y
azules. En la primera urna hay 3 rojas y 6 azules, mientras

y halle la suma de los números enteros que la verifiquen.
A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

5. Halle la suma de valores de m para que el sistema sea
compatible determinado.



Si una de las modas es 53, calcule su varianza aproximada.
A) 40,8

 x2
35 
log 5  − 3 x +  < 0
2
8

x + y = m

2
ax + by = m
 2
2
3
a x + b y = m ; a ≠ b

A) 1

B) –1

C) a+b

D) – a

2
; x≤0.
6. Sea M( x ) = 4
x + 4x2 + 2


Determine M *  2  + M( −1).
 
7



Considere que M* es función inversa de M.

que en la segunda hay 6 rojas y 3 azules. De cada una
se extrajeron 3 fichas, una a una y sin reposición. Si la
primera ficha extraída de cada urna fue roja, ¿cuál es
la probabilidad de que la última ficha extraída de cada
urna también sea roja?

3
A) −
7

B) −

4
7

1
C) −
7

D) −

5
7

Sede Trujillo - Huancayo - Puno - Tacna - Huacho

P-1

Prueba eliminatoria - Quinto grado de secundaria

7. Sea la recurrencia
xn = 2 · xn –1+2 ; x1=1;

además xn+1 – xn = a · 2n – b.

Calcule a+b.
A) 5
C) 4

10. Si PA es perpendicular al plano que contiene a la
semicircunferencia, además OP=5 y BC=6, halle la medi-

 

da del ángulo que forman OP y BC .
P

B) 3
D) 1

B



x + 3 ≥ y
x + y ≤ 8


y ≥ x − 3
 x ≥ 0 ; y ≥ 0

O

A

8. Indique la representación gráfica de las inecuaciones

C





A)

A) 30º

B) 37º

C) 45º

D) 53º

B)
11. En un tetraedro regular ABCD, M es un punto medio
de AD y G es baricentro de la cara BCD; además se traza

C)



la altura del tetraedro DH que interseca a GM en N.
GN
Calcule
.
MN

D)

A) 1

B) 1/2

C) 1/3

D) 2/3

12. Del gráfico, AB = 4 y AC = CD = 5. Calcule el volumen
9. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda en
las siguientes proposiciones.
I. Tres puntos en el espacio siempre determinan un
plano.
( )
II. Si dos rectas están contenidas en planos paralelos,
entonces dichas rectas siempre son paralelas. ( )
III. La intersección de dos planos puede ser un punto.

( )
IV. Si una recta es paralela a un plano, entonces dicha
recta es paralela a todas las rectas contenidas en dicho plano.
( )
A) FVVV
B) FFFF
C) VFVF
D) VVVV

P-2

Sede Trujillo - Huancayo - Puno - Tacna - Huacho

del sólido generado por la región ABDC al girar 360º



respecto de BD .
360º

D

C



A
A) 24p
B) 48p
C) 96p
D) 144p

B

Concurso Nacional de Matemática César Vallejo 2012

13. Del gráfico, OABC es un cuadrado y T es punto de



16. En el gráfico, CM – BM = 4 y AB = 2. Calcule CM+BM.

tangencia. Calcule la ecuación general de L .
A) 10

L

Y
A

C

B) 8
B

C) 7

T

D) 6

M
45º

O

C



X

A

B

17. Calcule el valor de
p
p
sen cos
6
3.
p
tan
6


A) 4x – 3y = 0
B) 3x – 4y = 0
C) 4x – 3y – 12 = 0
D) 3x – 4y – 12 = 0
2
14. Si tanθ = , calcule el valor de senθ .
3
senα
B

A)

3

12

B)

3
4

C)

3

D)

3
2

M
θ
A



θ

α

18. Si
C




A)

C)

2 13

5

B)

2 13

13

D)

15. Si 0 < θ <


13
5
2 13
9

π
sen2 α − sen4 α
, además tanθ =
,
2
cos 2 α − cos 4 α

calcule secq.

π

2

< θ < π y se cumple que

tan2q+cos260º = 1,

calcule 7 sec θ + 2.
3
A) −
2

B)

5
C) −
2

D) 4

19. De la igualdad
sen x + cos x
= 1,
1+ sen2 x



calcule el valor de (senx – cosx)2.

A) 2
B) 2

A) 1

B)

C) 2

D)

C) 3
D) 4

11
2

1
2
1
2

Sede Trujillo - Huancayo - Puno - Tacna - Huacho

P-3

Prueba eliminatoria - Quinto grado de secundaria
π

20. Si se cumple que
tan4x + 1 =

(2 − sen22 x )sen3 x



calcule cos6x.
A)

C)

1

4

cos 4 x

B)

3

4

D)

23. Si x e y ∈ R+, además 0 < θ < ,
6
,

1
2
3
2

21. Si x ∈ 〈0; 2p〉, calcule la suma de soluciones de la
ecuación
sen3x + cos3x+2cosx = 0.
19 p

A)
4

5p
B)
2

C) 4p

13p
D)
2

sen250º+sen270º – cos50ºcos70º.

A) 5/4

B) 5/3

C) 3/4

D) 1

P-4



entonces

x y
+ se encuentra en el intervalo
y x

A) 〈3; 4〉.
5 7
.
;
2 2

C)

B)

7 9
;
.
2 2

D)

9 11
.
;
2 2

24. Halle el número de soluciones de la ecuación


sen

5x
x
= 5 cos 3 x sen , si x ∈ [0; 2p].
2
2

A) 2
C) 6

B) 3
D) 7

25. Si sen2x+2tanx = 3, ¿a qué será igual sen2x – 2tanx?

22. Calcule el valor de




senθ cos θ
cos 4 θ sen4 θ 97 sen2θ
=
∧
+ 4 = 3
,
x
y
x4
y
x y + xy 3

Sede Trujillo - Huancayo - Puno - Tacna - Huacho

A) 1
B) 1/2
C) –1
D) –1/2