Sergio Yansen Núñez
Análisis Cualitativo
Actividad 1
Los científicos Verhulst (1938) y Peral (1930) propusierón el siguiente modelo de
crecimiento de una población T Ð>Ñ que vive en un medio de recursos limitados (alimento
, espacio etc. ...)
.T
T
.> œ <T Š"
O ‹

con

T Ð!Ñ œ T!

y<  !àO  !

(O es llamada la capacidad de carga del ambiente )
(< es la tasa de crecimiento natural ).
1.

Determine los puntos de equilibrio y clasifíquelos.

2.

Calcule lim T Ð>Ñ

3.

Analice gráficamente T Ð>Ñ en los siguientes casos:

>Ä_

a)
4.

cuando T!  O

b)

cuando T!  O

T

"
Resuelva .T
.> œ <T Š"
O ‹ mediante la sustitución: ? œ :

Actividad 2
Suponga que se combina una sustancia E con una sustancia F para formar sustancias G ,
si BÐ>Ñ representa la cantidad G formada en el tiempo > y si ! y " son las cantidades
iniciales de las sustancias E y F respectivamente. Entonces la velocidad con que se
forma el nuevo compuesto G se puede describir con la ecuación diferencial autónoma:
Bw œ 5Ð!
BÑÐ"
BÑ. Donde 5 es una constante de proporcionalidad, y "  !  !.
a)

Clasifique los puntos críticos.

b)

Para el caso ! œ " ¿cuál es el comportamiento
BÐ!Ñ  !?

c)

"
Verifique que BÐ>Ñ œ !
>
, es una solución explícita de la ecuación
diferencial para 5 œ " y ! œ " . Determine una solución que satisfaga BÐ!Ñ œ !# .
Grafique esta solución. ¿Concuerda esto con los resultados del ítem b)?

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de BÐ>Ñ cuando > qp_ si

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Actividad 3
Analice cualitativamente la ecuación indicando y clasificando puntos de equilibrio.
Grafique las soluciones de la ecuación diferencial, que modela un problema de
incremento de la producción CÐ>Ñ, donde G y F son constantes tales que G  F :
.C
.>

œ Ð"
CÑÐG
FCÑ

Resolución
Actividad 1
1.

.T
.>

œ! Í :œ! ” :œ5

: œ ! es repulsor
: œ 5 es atractor

2.

como : œ 5 es atractor, entonces lim :Ð>Ñ œ 5

3.

a)

>Ä_

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b)

4.

<:#

:w
<: œ
5
sea

? œ :
"
?w œ
:
# :w
<:#

:w
<: œ
5

/ †
:
#


:
# :w  <:
" œ <5 ‡
reemplazando en ‡
?w  <? œ <5 lineal
? œ Ð-  ' 5< /' <.> .>Ñ/
' <.>
? œ -/
<>  5"

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: œ ?"
:œ

"
-/
<>
5"

:Ð!Ñ œ :!
:! œ

"
-
5"

- œ :"
5"
!
:Ð>Ñ œ

Ð :"

!

"
 5" Ñ/
<>
5"

Actividad 2
a)

Los
puntos
críticos
se
obtienen
5Ð!
BÑÐ"
BÑ œ ! Ê B œ ! ß B œ "

resolviendo

la

ecuación

! es atractor y " es repulsor
b)

Si !  BÐ!Ñ  " , entonces BÐ>Ñ qp! cuando > qp_.

! es atractor-repulsor.
c)

Por derivación directa se comprueba que
#
"
"
Bw Ð>Ñ œ Ð>
-Ñ
# œ Š !
Š!
>
- ‹‹ es solución. Usando la condición inicial,
se tiene la solución

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!
BÐ>Ñ œ !
!>
#

El comportamiento, para tiempo suficientemente grande, de BÐ>Ñ cuando
BÐ!Ñ œ !# , se obtiene
!
lim BÐ>Ñ œ lim Š!
!>
#
‹œ!
>Ä_

>Ä_

Por lo tanto el resultado concuerda con lo obtenido a través de la línea de fase en
el ítem b).
Actividad 3
puntos de equilibrio

G
F

y " con

G
F

"

Gráfica de las soluciones

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