EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA AL INGRESO A LA
EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

CICLO ESCOLAR 2018-2019

1

CONTENIDO
PRESENTACIÓN…………………………………………………………………………………...

1

JUSTIFICACIÓN……………………………………………………………………………………

2

PROPÓSITO………………………………………………………………………………………….

2

DESCRIPCIÓN DE LA GUÍA…………………………………………………………………

2

SUGERENCIA PARA EL BUEN USO DE LA GUÍA………………………………

5

COMPETENCIA MATEMÁTICA………………………………………………………….

6

1. Identifica operaciones básicas de números enteros y racionales para resolver
problemas de la vida cotidiana empleando el pensamiento
matemático…………………………………………………………………………………………..
2. Expresa
y
utiliza
sucesiones
y
series
aritméticas
y
geométricas…………………………………………………………………………………………..

6
11

3. Expresa algebraicamente situaciones o problemas de la vida
cotidiana……………………………………………………………………………………………….

15

4. Resuelve problemas vinculados a la proporcionalidad directa e inversa como
porcentajes, escalas e interés simple…………………………………………………………

19

5. Resuelve problemas que involucran una relación lineal entre dos conjuntos de
cantidades. …………………………………………………………………………………………..

23

6. Resuelve problemas que involucran el uso de una ecuación
cuadrática……………………………………………………………………………………………..

30

7. Calcula cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas de
perímetro, área y volumen………………………………………………………………………

35

8. Calcula la medida de diversos elementos del círculo como circunferencia,
superficie, ángulo inscrito y central, arcos de la circunferencia, sectores y
coronas circulares………………………………………………………………………………….

41

9. Resuelve problemas que impliquen aplicar las propiedades de la congruencia y
la semejanza en diversos polígonos……………………………………………………………

48

10. Resuelve problemas aplicando el teorema de Pitágoras y las razones
trigonométricas seno, coseno y tangente en la resolución de
problemas……………………………………………………………………………………………..

54

COMPETENCIA LECTORA…………………………………………………………………

59

1. Identifica los tipos de textos……………………………………………………………………..

59

2. Identifica la estructura de los textos………………………………………………………….

63

3. Identifica las propiedades de los tipos de textos. ………………………………………….

68

4. Identifica las ideas centrales y secundarias de un texto…………………………………

73

5. Analiza textos utilizando estrategias de comprensión lectora para seguir
aprendiendo y comprender su entorno………………………………………………………

79

6. Analiza textos a partir de los diferentes modos discursivos……………………………

87

7. Utiliza la información de diferentes tipos de texto para ampliar sus
conocimientos y formarse un punto de vista propio……………………………………..

96

8. Construye nuevas ideas a partir de la información que se difunde en la prensa
escrita…………………………………………………………………………………………………..

107

COMPETENCIA EN CIENCIAS EXPERIMENTALES………………………….

120

QUÍMICA……………………………………………………………………………………………….

120

1. Identifica las propiedades físicas de los materiales y su
composición………………………………………………………………………………………….

120

2. Identifica
los
componentes
de
una
mezcla
y
su
clasificación…………………………………………………………………………………………..

127

3. Identifica las características del modelo atómico; partículas y sus
funciones………………………………………………………………………………………………

133

4. Reconoce la importancia de los elementos químicos para los seres vivos con
base en la organización y la información contenida en la tabla
periódica………………………………………………………………………………………………

139

5. Distingue las propiedades de los ácidos y las bases en materiales de uso
cotidiano………………………………………………………………………………………………

149

BIOLOGÍA……………………………………………………………………………………………...

151

6. Identifica la unidad y diversidad en los procesos de nutrición, respiración y
reproducción…………………………………………………………………………………………

151

7. Analiza las causas y las medidas de prevención en el cuidado del medio ambiente
y la promoción de la salud orientadas a la cultura de la
prevención……………………………………………………………………………………………

151

FÍSICA…………………………………………………………………………………………………….

165

8. Identifica características del movimiento ondulatorio con base en el modelo de
ondas…………………………………………………………………………………………………...

165

9. Identifica los principios y características de los fenómenos electromagnéticos
de su entorno………………………………………………………………………………………..

173

10. Analiza las leyes del movimiento de los cuerpos………………………………………….

180

PRESENTACIÓN
Evaluar el aprendizaje durante todo el proceso formativo de cualquier nivel educativo, es esencial para fortalecer
los procesos, para sistematizar y documentar los avances o retrocesos en el aprendizaje que los estudiantes han
logrado en su formación académica. En este sentido, la Evaluación Diagnóstica al Ingreso a la Educación Media
superior 2018-2019 está destinada a evaluar el nivel de las competencias matemática, lectora y en ciencias
experimentales, que han alcanzado los estudiantes en su Educación Básica y que ingresan a la Educación Media
Superior (EMS).
Para conocer la situación actual del nivel que presentan los jóvenes respecto a las competencias matemática,
lectora y en ciencias experimentales, se aplica un instrumento diagnóstico al inicio de la formación académica.
Los resultados adquiridos en dicha evaluación son la radiografía de la situación actual que guardan los
aprendizajes adquiridos por los estudiantes, este primer diagnóstico servirá a los docentes, autoridades
educativas, padres de familia y estudiantes, como un referente válido y confiable para planear e implementar
estrategias que enriquezcan y que contribuyan a adquirir y fortalecer aprendizajes. Una de las estrategias a
implementar para este fin, es la Guía de estudios para la Evaluación Diagnóstica al Ingreso a la Educación Media
Superior 2018-2019, la cual está destinada a recuperar y reforzar los aprendizajes clave adquiridos durante la
formación del nivel básico que constituyen el fundamento de los aprendizaje para el siguiente nivel.
La guía es una estrategia de aprendizaje, estructurada por la competencia matemática, lectora y en ciencias
experimentales; presentada en forma de cuaderno de trabajo en donde el estudiante recuperará saberes previos,
obtendrá información de los aprendizajes específicos que debe manejar, ejercitará sus habilidades, evaluará lo
que ha aprendido y verificará su avance. De esta forma, el estudiante estará en posibilidad de presentar la
evaluación diagnóstica al inicio del ciclo escolar y conocer su nivel de desarrollo de las competencias, que requiere
para transitar durante su formación en el bachillerato con mayores oportunidades de éxito.

1

JUSTIFICACIÓN
Una de las estrategias que ha implementado la Subsecretaría de Educación Media Superior, a través de la
Coordinación Sectorial de Desarrollo Académico, es la Evaluación Diagnóstica al Ingreso a la Educación Media
Superior, para conocer el nivel de la competencia matemática, lectora y en ciencias experimentales que poseen
los estudiantes de nuevo ingreso.
Con los resultados de la evaluación, las instituciones educativas del nivel medio superior podrán establecer
programas de mejora que favorezcan el fortalecimiento de las tres competencias durante la permanencia del
estudiante en el bachillerato. Podemos advertir, que la competencia matemática, lectora y en ciencias
experimentales, son transversales a toda la formación de tipo medio superior.
Para apoyar a los estudiantes de nuevo ingreso a la media superior, se ha elaborado la Guía de estudios que se
utiliza al ingresar al bachillerato. Pretende ser, una estrategia que permita al estudiante aprender a aprender y
fortalecer los aprendizajes adquiridos durante su formación básica, desarrollar los nuevos aprendizajes clave y
las competencias del Marco Curricular Común de la Educación Media Superior.
Esta guía contiene herramientas que permiten al estudiante recordar y conocer contenidos específicos que se
requieren dominar para desarrollar y fortalecer las competencias en cada campo disciplinar de la EMS. Para este
propósito, se incluye la información mínima indispensable que sirve para resolver problemas de la vida real,
además se presentan ejercicios y planteamientos de problemas contextualizados que tendrá que resolver el
estudiante para fortalecer las habilidades adquiridas a lo largo de su formación, también incluye un apartado de
verificación del aprendizaje adquirido.

PROPÓSITO
Que el estudiante:
Recupere y fortalezca los aprendizajes adquiridos en su formación básica respecto a la competencia matemática,
lectora y de ciencias experimentales, para desarrollar los aprendizajes clave de los campos disciplinares y las
competencias del Marco Curricular Común al ingreso de la Educación Media Superior.

DESCRIPCIÓN DE LA GUÍA
La guía de estudios tiene como base las competencias y aprendizajes desarrollados en la educación básica, que
servirán al estudiante que ingresa al nivel medio superior.
Se divide en tres partes, como se especifica a continuación:

2



Capacidad del estudiante para identificar, analizar y resolver problemas de situaciones reales o hipotéticas
de la vida cotidiana empleando el pensamiento matemático.
Habilidad específica

1. Identifica operaciones básicas de números enteros y racionales para resolver
problemas de la vida cotidiana empleando el pensamiento matemático.

2. Expresa y utiliza sucesiones y series aritméticas y geométricas.
3. Expresa algebraicamente situaciones problema de la vida cotidiana
4. Resuelve problemas vinculados a la proporcionalidad directa e inversa como
porcentajes, escalas e interés simple.
5. Resuelve problemas que involucran una relación lineal entre dos conjuntos de
cantidades.
6. Resuelve problemas que involucran el uso de una ecuación cuadrática.
7. Calcula cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas de
perímetro, área y volumen.
8. Calcula la medida de diversos elementos del círculo como circunferencia,
superficie, ángulo inscrito y central, arcos de la circunferencia, sectores y
coronas circulares.
9. Resuelve problemas que impliquen aplicar las propiedades de la congruencia
y la semejanza en diversos polígonos.
10. Resuelve problemas aplicando el teorema de Pitágoras y las razones
trigonométricas seno, coseno y tangente en la resolución de problemas.



Contenido específico
Suma
Resta
Multiplicación
División
Números fraccionarios
Números decimales
Sucesiones
Series numéricas
Lenguaje algebraico
Razones
Proporciones
Ecuaciones lineales
Ecuaciones cuadráticas
Perímetro
Área de un polígono
Volumen de cuerpos geométricos
Circunferencia
Elementos
Propiedades
Criterios de congruencia y semejanza de triángulos
y otros polígonos
Teorema de Pitágoras
Razones trigonométricas

Capacidad del estudiante para obtener, comprender y manejar información, así como interpretar y
reflexionar sobre el contenido de un texto.
Habilidad específica
1. Identifica los tipos de textos.

2. Identifica la estructura de los textos.
3. Identifica las propiedades de los tipos de textos.
4. Identifica las ideas centrales y secundarias de un texto.
5. Analiza textos utilizando estrategias de comprensión lectora para seguir
aprendiendo y comprender su entorno.

6. Analiza textos a partir de los diferentes modos discursivos.

Contenido específico
Textos:
Literarios (cuento y novela)
Científicos o Expositivos (divulgación científica )
Informativos (noticia)
Descripción
Narración
Argumentación
Coherencia y cohesión de un texto
Ideas centrales y secundarias de un texto
Estrategias de compresión lectora
Modos discursivos:
a) Concepto-ejemplo
b) Causa-efecto
c) Comparación-contraste
d) Problema-solución

7. Utiliza la información de diferentes tipos de texto para ampliar sus
conocimientos y formarse un punto de vista propio.

Artículo de opinión
Ensayo
Reseña crítica

8. Construye nuevas ideas a partir de la información que se difunde en la prensa
escrita.

Géneros periodísticos

3



Capacidad del estudiante para comprender fenómenos y procesos naturales relacionados con las ciencias
experimentales, a partir de la identificación y análisis de sus características, propiedades y procesos.
Habilidad específica

Contenido específico
QUÍMICA

1. Identifica las propiedades físicas de los materiales y su composición.

2. Identifica los componentes de una mezcla y su clasificación.
3. Identifica las características del modelo atómico; partículas y sus funciones.
4. Reconoce la importancia de los elementos químicos para los seres vivos con
base en la organización y la información contenida en la tabla periódica.
5. Distingue las propiedades de los ácidos y las bases en materiales de uso
cotidiano.
BIOLOGÍA
6. Identifica la unidad y diversidad en los procesos de nutrición, respiración y
reproducción.

7. Analiza las causas y las medidas de prevención en el cuidado del medio
ambiente y la promoción de la salud orientadas a la cultura de la prevención.

Propiedades físicas de los materiales:
• Cualitativas
• Extensivas: masa y volumen
• Intensivas: temperatura de ebullición, densidad y
solubilidad
Homogéneas y heterogéneas
Mezclas y sustancias puras: compuestos y
elementos
Modelo atómico de Bohr
Clasificación de los elementos químicos
Propiedades de la tabla periódica: carácter metálico,
valencia número atómico y masa atómica
Importancia de los elementos químicos para los
seres vivos
Propiedades de ácidos y bases
Estructura y función celular
Funcionamiento del cuerpo humano:
 Proceso digestivo
 Proceso respiratorio
 Proceso reproductivo
Transformación y aprovechamiento de los
alimentos
Enfermedades respiratorias y trastornos
nutricionales
Los riesgos personales y sociales del tabaquismo

FÍSICA

8. Identifica características del movimiento ondulatorio con base en el modelo
de ondas.

9.

Identifica los principios y características
electromagnéticos de su entorno.

10. Analiza las leyes del movimiento de los cuerpos.

de

los

fenómenos

Movimiento ondulatorio
Origen de las ondas
Frecuencia
Amplitud
Longitud de onda y velocidad
Sonido
Rapidez de propagación
Propiedades del sonido
Electricidad y magnetismo
Experimentos de Oersted y de Faraday
Electroimán
Composición y descomposición de la luz blanca
Características de las ondas electromagnéticas
Estado de reposo con movimiento rectilíneo
uniforme
La inercia y su relación con la masa
Relación de fuerza, masa y aceleración
Acción-reacción

4

SUGERENCIAS PARA EL BUEN USO DE LA GUÍA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Realiza una lectura exploratoria.
Identifica cada apartado.
Planea las sesiones de estudio y de repaso.
Determina horarios y el lugar para realizar las actividades de aprendizaje.
Ten a la mano los materiales y recursos de apoyo.
Toma un breve descanso después de cada hora de estudio.
Si tienes alguna duda, consulta a los docentes del plantel al que estas inscrito.

5

COMPETENCIA MATEMÁTICA

Capacidad del estudiante para identificar, analizar y resolver problemas de situaciones reales
o hipotéticas de la vida cotidiana empleando el pensamiento matemático.

Instrucciones: con los conocimientos que adquiriste a lo largo de tu formación, contesta lo siguiente:
Tu salón está organizando la fiesta de graduación, el jefe de grupo contacta a varios organizadores de eventos
con el propósito de solicitar un presupuesto que cubra:
◎
◎
◎
◎
◎
◎

Alimentos para 300 personas
Música
Centros de mesa
Bebidas
Renta del salón
Pastel

¿Qué operaciones tienes que utilizar para calcular el precio por persona?

Anota tres ejemplos de cada uno de los siguientes números:
Tipo de número
Naturales
Enteros
Racionales

Característica

Ejemplo

Números positivos
Cero, números positivos y
negativos
Números que se pueden escribir
como una fracción y números
decimales

6

Operaciones básicas
Los números representan unidades de cosas; pero es posible utilizarlos como solamente números; y de esa forma,
realizar con ellos diversas operaciones que sirven para realizar cálculos que son muy útiles; se llaman operaciones
aritméticas.
Las operaciones son:

Números fraccionarios y decimales
Números fraccionarios: se encuentran dentro del conjunto de los número racionales,
sus elementos son: numerador y denominador.

4 numerador
5 denominador

Operaciones de número fraccionarios
Multiplicación

Suma
Cuando se tiene un mismo denominador
común.
a
b

+

c
b

=

a+c

Directo
a
b

×

c
d

=

ac
bd

b

Cuando no se tiene un mismo denominador
común.
mcm(bd)
mcm(bd)
×a+
×c
a c
b
d
+ =
b d
mcm(bd)

División
Cruzado
a
b

÷

c
d

=

ad
bc

Número decimal: se encuentran dentro del conjunto de los números racionales, se utilizan para representar
números más pequeños que la unidad. Los números decimales se escriben a la derecha de las unidades separados
por un punto.
7

Conversión de decimal a fracción
Paso 1. Poner el número decimal en una fracción encima de
un 1. Es decir, el número decimal es el numerador, el 1 el
denominador.
Paso 2. Agregar al 1(denominador), tantos ceros como
decimales tenga nuestro número decimal.
Paso 3. Multiplicar el numerador por el denominador
resultante o recorrer el punto a la derecha, tantos lugares
como ceros agregados en el denominador
Paso 4. Simplificar.

Ejemplo: convertir 0.25 a fracción.
Paso 1
0.25=

0.25
1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

número de decimales=2
1 00
⏟

0.25(100) 25
=
100
100

25 1
=
100 4

Conversión de fracción a decimal
Toda fracción equivale a una división.

DIVISIÓN

FRACCIÓN

cociente
divisor

dividendo

numerador
denominador

residuo

Paso 1. Colocar el numerador
como el dividendo y el
denominador como divisor.

Paso 2. Resolver la división, si
el numerador es menor que el
denominador el cociente es
decimal; si el numerador es
mayor que el denominador el
cociente es un entero con un
decimal.

Ejemplo:
Paso 1
1
=
4

4

1

Paso 2
0.25
4

10
20
0
8

1. Resuelve las siguientes operaciones.
1 6
1
a. 4 - +2 =
5 7
3
7
7
x5 =
9
8
2
4
c. 7 ÷2 =
3
5
b. 3

2. Realiza las conversiones de números decimales a fracciones y viceversa.
2
1
a. 4 -0.32-1 =
5
6

Para revisar más actividades:
http://www.disfrutalasmatema
ticas.com/ejercicios/decimales.
php

4
b. 0.87+6 -0.15=
7

Instrucciones: de acuerdo a las actividades practicadas, resuelve los siguientes problemas.
1. Si un delfín recorre en el día 20 km ½, y por las noches descansa, pero las corrientes lo regresan 2 km
¿cuántos kilómetros recorre en una semana completa?
DATOS

OPERACIONES

,

2⁄
3

RESULTADO

9

2. Para elaborar un pastel se necesitan: 2 kg ½ de harina, 0.500 kg de huevo, ¾ kg de mantequilla, un litro de leche
y 0.6 kg de algunos otros condimentos, ¿Cuánto pesará el pastel?
DATOS

OPERACIONES

RESULTADO

10

Instrucciones: Coloca los siguientes números en la recta numérica.
10, 2, -8, -2, 0, -6, 4, 8, 6, -4, -10

1. ¿Qué criterio seguiste para ordenar los números?

2. ¿Cuál es la variación constante que presentan los datos?

SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Una sucesión es un conjunto de números o figuras ordenadas según una regla fija, una vez que la encontremos,
tendremos que seguirla para hallar los siguientes términos.
Para encontrar la regla averigua si la secuencia es ascendente, descendente o una combinación de ambas.

Las sucesiones pueden dividirse principalmente en dos:
Las sucesiones aritméticas, son aquellas que de un término al siguiente tiene una diferencia constante o común,
es decir, cada término se obtiene sumando un número fijo al anterior.

11

Secuencias de números de sumas:
Esta secuencia es ascendente y para pasar de un número al siguiente tan
solo tenemos que sumar 1.
Por lo tanto, el siguiente número de esta secuencia es 4 + 1 =5

Secuencias de números de multiplicaciones:
Esta secuencia también es ascendente pero ahora para pasar de un
número al siguiente hemos ido multiplicando por 2.
Por lo tanto, el siguiente número de esta secuencia es 8 x 2 = 16

Ejemplo:
2, 4, 6, 8, …

La diferencia común “d” es 2, ya que cada término se obtiene sumando 2 al anterior.

Las sucesiones geométricas, son aquellas que tienen una razón común, en la que cada término se obtiene
multiplicando el anterior por un número fijo.
Ejemplo:
2, 4, 8, 16, …

La razón común “r” es 2, pues cada término se obtiene multiplicando por 2 al anterior.

Una serie numérica es la suma de una sucesión:
Ejemplo:
Sucesión:

1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4,

Serie:

1 + 1.5 + 2 + 2.5 + 3 + 3.5 + 4 = 17.5

Instrucciones: resuelve los siguientes ejercicios.
a)

3, + 9,+ 27, + 81, + ____, + ____, + ____ =____

b) 12, 19, ____, 33, ____, 47, ____, ____, ____, 75

Puedes
encontrar
más
ejercicios de series con figuras
en el siguiente link:
http://libros.conaliteg.gob.mx
/content/restricted/libros/car
rusel.jsf?idLibro=2114#page/3
9

12

c)

En la renovación de un museo se planea colocar una serie de 8 vitrales de diferentes tamaños, conformados
cada uno por cuadros blancos y de colores, tal como se muestran en la imagen.
¿Cuántos cuadros presentarán color en el vitral
número 7?
¿Cuántos cuadros estarán en blanco en el vitral
número 5?
¿Contemplando los 8 vitrales, cuántos cuadros en
total presentarán color?

Instrucciones: observa las siguientes sucesiones y responde lo que se te pide:
1. Señala si las siguientes sucesiones son aritméticas o geométricas:
a. 3, 6, 9, …
b. 3, 9, 27, …
c. 3, 7, 11, 15, …
2. ¿Cuál es la diferencia o razón común de las siguientes sucesiones?

Para saber más, consulta el
siguiente link:
http://www.cimat.mx/cienci
a_para_jovenes/bachillerat
o/libros/algebra_angel_cap
11.pdf

a. 3, 6, 9, …
b. 3, 9, 27, …
3. Determina la serie numérica de cada sucesión:
a. 2, 6, 10, 14, ...
b. 3, 7, 11, 15, …

13

Instrucciones: aplica tus conocimientos en la resolución del siguiente ejercicio.
1. Luis desea comprar un regalo a su mamá y para ello, ahorra $4.00 pesos diarios. En las primeras 4 semanas ha
registrado cada lunes el total de su ahorro, tal y como se muestra en la siguiente tabla:
Lunes

1°

2°

3°

4°

Ahorro

4

32

60

88

5°

6°

7°

8°

9°

10°

11°

12°

a. Si actualmente faltan 8 semanas más para el cumpleaños de su mamá, ¿cuánto dinero tendrá ahorrado al final
para comprar el regalo?

b. ¿El ahorro registrado a qué tipo de sucesión corresponde?

c. ¿Cuál es la regla general del ahorro registrado?

14

Instrucciones: observa el siguiente registro de ahorro, complétalo y contesta las preguntas.
Registro de ahorro
Día
Ahorro

1
$10.00

2
$20.00

3
$30.00

4
$40. 00

5
$50.00

6
$60.00

1. ¿Cuánto dinero se tendrá ahorrado en los días 10 y 12?

2. ¿Cuál es la diferencia común entre cada día de ahorro?

3. Subraya la opción que consideras representa el ahorro de cada día.
a) d(10)= a

b) a= 10

c) a+d=10

d) d= 10(6)

15

Variable
Es un elemento de una
fórmula, proposición o
algoritmo que se puede
adquirir o ser sustituido por
un valor cualquiera.

Término algebraico
Está constituido por cuatro
.
elementos básicos:
signo,
coeficiente, literal y
exponente.

coeficiente
signo

-2x

3

exponente
literal

Constante
Es un valor fijo, aunque a
veces no determinado.

Coeficiente

Expresión algebraica
Es la representación de
situaciones o problemas
que combinan términos
mediante operaciones

2 3 4

9x y z

Es un factor multiplicativo
que pertenece a una
variable.
Ejemplo:
Expresión: 2b+3ab+6

Términos: 2b, 3ab, 6

El lenguaje algebraico permite expresar operaciones con números desconocidos.
Ejemplo:
Lenguaje común
Juan tiene x libros y Ana tiene el doble de los libros que tiene
Juan más 5.

La suma de las edades de Ángel y Elizabeth es de 50 años.
El ramo de flores que Alex regaló a su novia tenía tantas rosas
que eran el triple de las margaritas que tenía y cuatro
azucenas.
La diferencia del triple de una cantidad con el doble de otra.

Expresión algebraica
Si Juan tiene “x” libros
Entonces Ana tiene 2x+5 libros
x = edad de Ángel
y = edad de Elizabeth
Entonces x+y = 50 es la suma de las
edades
x=margaritas
3x=rosas
4= azucenas
Entonces el ramo tiene x+3x+4 flores
3x-2y

16

Instrucciones: expresa de manera algebraica los siguientes enunciados.
Lenguaje común

Expresión algebraica

El área de un terreno rectangular en el que el largo mide siete
metros más que su ancho.
La diferencia de dos números cualesquiera.

La mitad de un número.

La raíz cuadrada de la diferencia de dos cantidades.
El cubo de un número más el triple del cuadrado de dicho
número.

Instrucciones: completa el siguiente cuadro.

Expresión algebraica

Términos

Coeficiente

Variables

Exponentes

9x2y3z4
4
2c
- a5 b8 + 4
3
7d
7a2b5c + a2b5c + 2a2b5c
1. ¿Cuál crees que es la utilidad de plantear situaciones en lenguaje algebraico?

17

2. Si el precio de un lápiz es “x” pesos y el de un bolígrafo “y” pesos, el precio de 5 lápices y tres bolígrafos se puede
expresar como:

Instrucciones: de acuerdo al planteamiento, responde las siguientes preguntas.
Un almacén cuentan con 15 costales de arroz, 15 de frijol y 15 de lentejas. Al concluir la semana se vendió el doble
de costales de frijol que de arroz y de lentejas 4 más que de frijol, quedando en el almacén 26 costales.
1. ¿Cuál es la expresión algebraica que permite determinar el número de costales
vendidos de cada semilla?

Si quieres saber más
consulta la siguiente liga:
http://ciiea.setab.gob.mx/a
lgebra/expresiones/interpr
etacion-expresiones.html

2. ¿Cuál es la expresión algebraica que permite determinar cuántos costales se vendieron en total?

18

Instrucciones: resuelve el siguiente problema.
En una fuga de agua se pierden 1500 litros por una hora, ¿cuántos litros se perderán si tardan en repararla 5
horas?
DATOS

OPERACIONES

RESULTADO

PROPORCIONALIDAD
La proporcionalidad se entiende como la relación entre dos cantidades, se clasifican en dos tipos:

19

Proporcionalidad directa
Ejemplo:
El costo de una lata de leche de 800gr es de $94.00, sí se conserva esta proporción, ¿cuál es el precio de una lata
con 1500gr?
Explicación
Si el número de gramos
aumenta, se espera que
el costo también
aumente

Paso 1
Se escribe la proporción
800gr $94.00
=
1500gr
x

Paso 2

Resultado

Se aplica la propiedad
fundamental de las
proporciones
x=$175.25

(1500gr)($94.00)
x=
800gr

Proporcionalidad inversa
Ejemplo:
Un grupo de estudiantes contrata un camión a costo fijo para realizar una excursión, inicialmente iban al viaje 30
alumnos, siendo el costo por persona de $250.00, si finalmente hacen el viaje sólo 25 alumnos, ¿cuánto debe
pagar cada uno?
Explicación
El número de alumnos
disminuye, en
consecuencia cada
estudiante debe aportar
mayor cantidad de
dinero

Paso 1

Se escribe los datos
30 alumnos →$250.00
25 alumnos → x

Paso 2

Resultado

Para resolverla se invierte la
razón y se escribe la
proporción
25 alumnos $250.00
=
30 alumnos
x
(30 )(250.00)
x=
(25 )

x=$300.00

Instrucciones: resuelve los siguientes ejercicios.
1. Calcula el valor de “x”.
Proporción

a)

Operaciones

Resultado

25 40
=
15 x

20

Proporción
b)

Operaciones

Resultado

Operaciones

Resultado

18 30
=
24 x

Proporción

d)

Resultado

10 x
=
50 75

Proporción

c)

Operaciones

20 90
=
x 180

2. El precio de un bulto de 40 kg de fertilizante, es de $120.00, para fertilizar una huerta se necesitan 200
kilogramos, ¿cuánto dinero se necesitará para abonar la huerta?
Explicación

Paso 1

Paso 2

Resultado

Instrucciones: determina el tipo de proporcionalidad a la que corresponde cada situación y justifica tu respuesta.
a. En una construcción 3 trabajadores tardan 5 días en levantar un muro, 7 trabajadores tardarán 3 días en
construir el mismo muro.
Tipo de proporcionalidad
¿Por qué?
b. Un kilogramo de manzanas cuesta $45.00, si compramos 2 kilogramos pagaremos $90.00 y sí solo se compra
1/2 kilogramo nos costará $22.50.
Tipo de proporcionalidad
¿Por qué?
21

Instrucciones: determina el tipo de proporcionalidad, justifica tu respuesta y resuelve el siguiente problema.
1. En una fábrica de refrescos, un supervisor registra que por cada 20 botellas, 3 no cumplen con la cantidad de
líquido que ofrece la compañía. De acuerdo con este registro, en una producción de 10,000 refrescos,
¿cuántos no cubrirán la cantidad de líquido?
Tipo de proporcionalidad
¿Por qué?
Solución:
Paso 1

Paso 2

Resultado

2. Sí en la construcción de una calle se emplearon 10 obreros y se terminó en 20 días, ¿en cuántos días 40 obreros
realizan la misma construcción?
Tipo de proporcionalidad
¿Por qué?
Solución:
Paso 1

Paso 2

Resultado

22

Instrucciones: determina el valor de la variable en las siguientes ecuaciones.
Ecuación

Variable

a. 12y=48

y=

b. 4y=-24

y=

c. -6x=-30

x=

x
=8
-2
y
e.
=-4
-3
x
f. =5
6
d.

x=
y=
x=

CONCEPTO DE ECUACIÓN
Una igualdad es una relación de equivalencia entre dos expresiones, numéricas o literales, que se cumple para
algún, algunos o todos los valores, y se representa por el signo =.
IDENTIDADES
Son igualdades que se verifican
siempre, ya sean numéricas o
algebraicas.

Numéricas
Establecen relaciones entre
números
10 = 8 + 2

IGUALDADES
Pueden ser de dos
tipos:

ECUACIONES
Son igualdades que se verifican para
algunos valores determinados de las
literales desconocidas llamadas
incógnitas.

Algebraicas
Si contienen literales
(a+ b)2 = a2 + 2ab + b2

23

En una ecuación, las cantidades desconocidas o incógnitas generalmente se designan con letras minúsculas de la
parte final del alfabeto. Las cantidades conocidas o coeficientes, normalmente se expresan con las letras
minúsculas iniciales del alfabeto.
Ecuaciones en dos o más
variables

Ecuaciones de una sola variable
Son las que tienen una sola incógnita,
normalmente la “x”.
2
x +1 = x + 4

Poseen más de una cantidad desconocida en
la ecuación
2x + 5y -8 = 0, las incógnitas son “x” y “y”

Las ecuaciones se clasifican de acuerdo con el exponente mayor que tenga la incógnita.
Ecuación de primer grado
.
6x - 35 = 7
Ecuación de segundo
grado
2
3x + 6x -18 = -5x + 7

Ecuación de tercer grado
3
2
3
2
7x - 2x + 5y - 2x = 8x - 6x

Resolver una ecuación es hallar el conjunto solución. Se conoce como raíces o soluciones de la ecuación los valores
de las incógnitas que satisfacen la igualdad.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.
Ejemplo:
Las ecuaciones 2x - 3 = 5 y 2x = 8 son equivalentes porque su solución es x = 4
Para resolver una ecuación, se transforma ésta en una ecuación equivalente con la variable despejada. Esta
transformación se logra aplicando las siguientes propiedades:

Si se suma una misma cantidad
a cada lado de la ecuación
dada, la igualdad no se altera.

Si se resta una misma cantidad
a cada miembro de la ecuación
dada, la igualdad no se altera.

Si se multiplica o se divide a
ambos lados de la ecuación
por cualquier cantidad
diferente de cero, la igualdad
no se altera.

ECUACIONES LINEALES
En términos generales, una ecuación de primer grado con una variable es de la forma:
ax + b = 0
donde:
a y b son coeficientes numéricos, a  0,
x es la incógnita.

24

Ejemplo:
Proceso

Ecuación

Comprobación

Se transponen términos:

6x - 7 + 4 - 2x =13x - 2 + 3x +19 + 8x

6x - 2x -13x - 3x -8x = -2 +19 + 7 - 4

Comprobación:

se reducen los términos semejantes:

6(-1)-7+4-2(-1)=-6-7+4+2= -7

- 20x = 20

13(-1) - 2 + 3(-1)+19 + 8(-1) =

dividiendo entre - 20

-13- 2 - 3+19 -8 = -7

x=

20
=-1
-20

- 7 = -7

PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas de la vida cotidiana.
Para plantear ecuaciones es conveniente saber traducir un enunciado a una expresión algebraica.
Ejemplo:
Ana es ocho años mayor que Carlos, pero hace tres años ella tenía el triple de la edad que él. ¿Cuál es la edad de
cada uno de ellos?

25

Proceso

Paso 1
Resolver la ecuación
Plantea las expresiones que representan las
incógnitas del problema
A = edad de Ana

A-3 = 3(C-3)

Al sustituir el valor de A (edad de Ana) tenemos:
(C + 8)-3 = 3C-9
-2C=-14

C = edad de Carlos
A =C + 8

A-3 = 3(C-3)

C=-14/-2

Ana es 8 años mayor que Carlos
Hace tres años Ana tenía el triple de
la edad que Carlos

C= 7
A=8-7
A= 15
Ana tiene 15 años y Carlos tiene 7.
Tomado de Cuéllar Carvajal Juan Antonio, (2003)
“Álgebra” 2°ed. McGrawHill, México

Instrucciones: resuelve las siguientes ecuaciones lineales:
Ecuación

Proceso

Comprobación

Proceso

Comprobación

a. 2x + 7= 23

Ecuación

b. 5x +16= 6

26

Ecuación

Proceso

Comprobación

Proceso

Comprobación

c. 3x -7= 20

Ecuación

d. 4y -2=14

Proceso

Ecuación

Comprobación

e. 7n+ 4n-8 -3n-2n=30

Instrucciones: resuelve mediante ecuaciones lineales los siguientes problemas.
1. Un número y su quinta parte suman 18. ¿Cuál es el número?
Paso 1
Plantea las expresiones que representan las
incógnitas del problema.

Proceso
Resolución de la ecuación

27

2. Perdí un tercio de las ovejas y llegué con 24. ¿Cuántas ovejas tenía?
Paso 1
Plantea las expresiones que representan las
incógnitas del problema.

Proceso
Resolución de la ecuación

3. Vendí 8 refrescos y me quedé con la mitad de los que vendí. ¿Cuántos refrescos tenía?
Paso 1
Plantea las expresiones que representan las
incógnitas del problema.

Proceso
Resolución de la ecuación

28

4. Al llevar a mi sobrino al circo, había un cartel que decía: “Pagué lo de un adulto y el niño sólo la tercera parte”
Si en total pagamos $160, ¿cuál es el costo del boleto de adulto?
Paso 1
Plantea las expresiones que representan las
incógnitas del problema.

Proceso
Resolución de la ecuación

29

Instrucciones: Completa el cuadro. Anota el grado con base al exponente mayor que posea la incógnita.
Ecuación

Grado

7x3 - 2x2 + 5y - 2x3 = 8x - 6x2
3x2 + 6x -18 = -5x + 7
6x - 35 = 7
x2-8x-48=0
1. Conoces algún método para resolver una ecuación cuadrática. ________________ ¿Cuál?

2. Para qué utilizarías esta fórmula.

x=

2
-b±√b -4ac

2a

ECUACIONES CUADRÁTICAS
Una ecuación de segundo grado con una variable es aquella que, una vez realizadas todas las reducciones
posibles, el máximo exponente es dos.
Una ecuación de este tipo también se llama ecuación cuadrática, su forma general es:
ax2 + bx + c = 0
donde:
a≠0, b y c son números reales
x es la incógnita.
ax2 recibe el nombre de término cuadrático.
bx se conoce como término lineal.
c es el término independiente.
30

Una ecuación de segundo grado tiene siempre dos respuestas. El objetivo de resolverla es obtener las raíces x 1 y
x2, si existen, para los que la igualdad de la ecuación es cierta.
Método de factorización.
Toda ecuación cuadrática de la forma: ax2+bx+c=0 puede resolverse por este método.
Ejemplo:
Ecuación

x2-7x+12=0

Paso 1

Se buscan un par de números que sumen 7 y que al multiplicarse su resultado sea 12
Se tiene que 3 y 4 cumplen esa condición

Proceso

Factorizamos
(x-3)(x-4)=0
Se igualan ambas ecuaciones a cero
x-3=0 , x-4=0
Despejamos la incógnita
x=3
x=4

Método por fórmula general.
Se utiliza para resolver ecuaciones cuadráticas con una incógnita, es decir, que esté escrita de la forma:
ax2+bx+c=0
Ejemplo:
Ecuación
Fórmula
Proceso

3x2+17x-28=0
x=

-b±√b2 -4ac
2a

De la ecuación
a= 3
b= 17
c= -28
2

-17±√(17) -4(3)(-28) -17±√289+336 -17±√289+336 -17±√625
=
=
=
2(3)
6
6
6
-17±25
=
6
-17+25 8 4
x1 =
= =
6
6 3
-17-25 42
x2 =
=
=7
6
6
=

Tomado de Cuéllar Carvajal Juan Antonio, (2003)
“Álgebra” 2°ed. McGrawHill, México

31

Instrucciones: resuelve las siguientes ecuaciones.
Por factorización.
Ecuación
Paso 1

x2-3x-10=0

Proceso

Ecuación
Paso 1

x2-5x+6=0

Proceso

Por fórmula general.
Ecuación
Fórmula
Proceso

Ecuación
Fórmula
Proceso

x2-6x+9=0
-b±√b2 -4ac
x=
2a

x2-8x-48=0
-b±√b2 -4ac
x=
2a

32

Instrucciones: comprueba si las soluciones de las siguientes ecuaciones son correctas, de lo contrario resuélvelas
para llegar al resultado correcto.
a. x2 - 5x - 14= 0

x1= 7 x2= -2

b. x2 + 3x – 4 = 0

x1= 3 x2= 2

c. x2 - 7x - 18=0

x1= -5 x2= 4

d) x2 -3x-18=0

x1=-6 x2=3

Instrucciones: aplica tus conocimientos en la resolución de los siguientes problemas.
1. Mauricio es 6 años mayor que Raquel, si sus edades se multiplican el resultado es igual a 374 años. ¿Cuál es la
edad de cada uno?
Ecuación
Proceso

33

2. El papá de Alejandra, le dice: “He colocado cierta cantidad de monedas en esta caja y en esta otra caja he
colocado la misma cantidad de monedas que hay en la primera y 4 más. Si multiplico la cantidad de monedas
que hay en la primera caja por la cantidad de monedas que hay en la segunda caja, el producto es 192. Si me
dices la cantidad de monedas que hay en cada caja, las monedas son tuyas”.
Ecuación
Proceso

Acevedo V., Valadez M.A. y Vargas E. (2004) – Matemáticas I Álgebra, Grupo Patria Cultural, S.A. de C.V.- México,
D.F.
Fundamentos para el examen de ingreso a Nivel Superior Politécnico (2005)-Colegio Nacional de Matemáticas
S.C. – México, D.F.
Carpinteyro Vigil Eduardo. (2012) – Algebra y Aplicaciones, Grupo Patria Cultural, S.A. de C.V.- México, D.F.
Cuéllar Carvajal Juan Antonio, (2003) “Álgebra” 2°ed. McGrawHill, México
Allen R. Ángel. (2008) Álgebra Intermedia. México, Pearson Educación.
http://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/bachillerato/libros/algebra_angel_cap1.pdf

Recuperado

de:

http://libros.conaliteg.gob.mx/content/restricted/libros/carrusel.jsf?idLibro=2114#page/39
Definiciones, ejemplos de proporción directa e inversa, Recuperado de:
http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/Proporcionalidad.htm
Definiciones, ejemplos y simuladores de proporciones, directas, inversas y compuestas. Recuperado de:
https://www.ematematicas.net/porcentajes.php?a=1
Fortalecimiento de las competencias de comprensión lectora y matemáticas en educación media superior de
acuerdo a los resultados de PLANEA 2016. Ejercicios de Práctica. (2016). Recuperado de
http://planea.cosdac.sems.gob.mx/planea/
Baldor Aurelio. (1983)- Algebra, Publicaciones Cultural S.A.- México, D:F. Recuperado de:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_1eso_expresiones_algebraicas/1q
uincena7.pdf Recuperado el 24 de enero de 2018.

34

Instrucciones: observa las siguientes figuras y contesta las preguntas.

1. ¿Qué representa el contorno de las figuras anteriores?
a. Perímetro

b. Área

2. ¿Cuál de las siguientes unidades le corresponde a la región interna de las figuras anteriores?
a. cm

b. cm2

3. ¿Cuál es la diferencia entre perímetro y área?

PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN
El perímetro es la suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica plana. Para calcularlo se suman
todos los lados de la figura.
El área es la cantidad de superficie de una figura plana. Dicho de otra manera, el tamaño de la región interna de
una figura geométrica. Para calcularla, cada figura cuenta con su respectiva fórmula:

35

FIGURA
GEOMÉTRICA

FIGURA
GEOMÉTRICA

FÓRMULA

TRIÁNGULO

ROMBO

A=

Dxd
2

ROMBOIDE

A=

Dxd
2

A=L2

POLÍGONO
REGULAR

A=

perímetro x apotema
2

A= bxh

POLÍGONO
IRREGULAR

A=

sup1+sup2
2

A=

bxh
2

A=b x h

RECTÁNGULO
CUADRADO
PARALELOGRAMO
TRAPECIO

FÓRMULA

A=

(B+b) h
2

A= π x r2

CÍRCULO

El volumen de un cuerpo está asociado a la capacidad, es decir, al espacio que un objeto tiene para contener otro
objeto. Para calcular el volumen de un cuerpo se necesita conocer: el alto, el ancho y el largo.
CUERPO
GEOMÉTRICO
PRISMA

FÓRMULA
V=Ab*h
donde: Ab=área de la base

PIRÁMIDE

1
V= Ab h
3

ESFERA

4
V= πr2
3

Ejemplos:
1. Se desea colocar adoquín a una plaza pública de forma circular que tiene 18m de
diámetro, sin afectar la estatua de un célebre personaje, la cual se encuentra
ubicada en el centro de la plaza sobre una base metálica rectangular de 3.5m de
largo por 2.5m de ancho; ¿Cuántos m2 de adoquín se requieren? Considera el
valor de π=3.14
Solución:
Datos
As=Área sombreada=?
A1=Área del círculo de
diámetro 18m
A2=Área de la estatua

Fórmula
As = A1 – A2

Sustitución
A1 = πr2 = π(9)2 = (3.14)(81)=254.34m2
A2 = bh = (3.5)(2.5) =8.75m2
Por tanto, el área sombreada en la cual se
colocarán los adoquines es:
As = A1 – A2 =254.34 – 8.75 = 245.59m2

36

2. En la comunidad El Mortero del municipio de Súchil, sus habitantes generan desechos biológicos, para su
manejo se propone la construcción de una fosa séptica, en cada uno de los hogares, que sea funcional por lo
menos 10 años. Determina el volumen de deshechos biológicos que pueda captar la fosa séptica, la cual tiene
las siguientes dimensiones:

Solución:
Datos

Fórmula
V=a*b*h

Sustitución
1m equivale a 100cm

a=100cm ancho

a= 1m; b=1.5m y h=2m

b=150cm largo

V=(1m) (1.5m) (2m) = 3 m3

h=200cm altura

Instrucciones: observa las figuras geométricas y resuelve lo que se te pide.
1. ¿Cuál es la longitud del segmento A de la siguiente figura? Si su perímetro es igual 35.5 m.

Datos

Fórmula

Sustitución

37

2. Calcula el volumen en metros cúbicos de un tinaco que tiene una altura de 9m y un diámetro de 4m.

Datos

Fórmula

Sustitución

Instrucciones: completa el siguiente cuadro.
Figura

Fórmula para calcular el
perímetro

Justificación de la fórmula

Cuadrado
𝑃 =4×ℓ

Rectángulo

Un rectángulo al igual que un cuadrado
tiene cuatro lados, sólo que dos de ellos son
más largos que los otros dos, por lo tanto,
se tienen que multiplicar cada uno de ellos
por dos.

Pentágono regular
Un pentágono regular esta conformado por
cinco lados de la misma medida, por lo tanto
con el valor de uno de ellos y multiplicando
por cinco podemos encontrar el perímetro.

38

Instrucciones: observa la siguiente figura, responde lo que se te pide y subraya la opción que consideres correcta.

a. ¿Con los datos que se muestran en la figura es posible calcular su área?
¿Por qué?
b. ¿Cuáles son las dos fórmulas con las que se puede calcular el área de un exágono regular?
Área= 6 x área de cada tríángulo

Área=

6 × lado
2 × apotema

Área=6

lado × apotema
2

c. ¿Cuáles son las dos fórmulas con las que se puede calcular el área de un polígono regular de 13 lados?
Área=

13
área del triángulo

Área=

13 × lado × apotema
2

Área=

perímetro × apotema
2

d. ¿Cuáles son las dos fórmulas con las que se puede calcular el área de un polígono regular de “n” lados?
Área= n x área de cada tríángulo

Área=

perímetro × apotema
2

Área=

perímetro
2 × apotema

http://pacoelchato.com/tareas/ayuda-tarea-secundaria-primer-grado-matematicas-bloque-ii-formulas-calcular-area-poligonos/

Instrucciones: aplica tus conocimientos en la resolución de los siguientes problemas.
1. En la escuela de tu comunidad, se calculó el área de un rectángulo de 88
m2. Si se sabe que su largo es 3m mayor que su ancho, ¿cuáles son las
dimensiones de sus lados?

39

Datos

Fórmula

Sustitución

2. Si el perímetro de un rectángulo tiene por largo el doble de lo ancho. Determina lo siguiente:
a. La expresión algebraica para calcular el ancho del rectángulo.

b. La expresión algebraica para calcular el largo del rectángulo.

c. La expresión algebraica para obtener el perímetro del rectángulo

d. Si x= 2, ¿cuál es el área del rectángulo?

40

Instrucciones: con los conocimientos que adquiriste a lo largo de tu formación, define los siguientes elementos
del círculo y represéntalos en las figuras.
Elemento

Figura

Radio:

Diámetro:

Ángulo central:

Ángulo inscrito:

Circunferencia

Línea curva cerrada cuyos
puntos equidistan de otro
punto llamado centro.
La fórmula para encontrarla,
es:
L=πd

Circunferencia

41

Ejemplo:
Encuentra la circunferencia de un círculo de diámetro 5cm.
Datos

d=5cm

Fórmula

Sustitución

L=π5
Sustituir 3.14 por π y multiplicar
L=3.14 ×5
L=15.70 cm

L=πd

Área de un círculo
Es igual al producto de π por el
radio (r) al cuadrado.
2

Área= π × r
También se puede calcular el
área conociendo el diámetro
del círculo (D), ya que éste es
el doble del radio.

Ejemplo:
Encuentra el área de un círculo de diámetro 12 cm.
Datos

Fórmula

Sustitución
Primero encontramos el radio:
d 12
r= = =6
2 2
Ahora podemos encontrar el área

d=12cm
A= π × r

2

A=π × 62
A= π × 36
A= 3.14 ×36=113.04
El área del círculo es 113. 04 cm2

42

Ángulo central
Es un ángulo cuyos lados son
radios y su vértice es el centro
de la circunferencia.
La medida angular del arco AB
es la de su ángulo central
∡AOB y se calcula con:
360 × L del lado
x=
2πr

En la figura está representado el ángulo
∡AOB y su arco correspondiente AB.

Ejemplo:
Obtener la longitud del ángulo central del arco cuya longitud es de 3.876cm y el radio de 2.41cm.
Fórmula

360 × L del lado
x=
2πr

Sustitución

x=

360 × 3.876 1395.36
=
2×3.14×2.41 15.1348

x=92.19
Por lo tanto el ángulo central mide 92°

Arco de la circunferencia
Es una porción de la circunferencia.
Para obtener la longitud de un arco utilizamos las
medidas del radio y del ángulo central.
La longitud de la circunferencia L=2 πr,
corresponde a 360°, al aplicar una regla de tres se
obtiene la longitud del arco.
𝐿
𝐿𝑐
=
360° 𝐴𝐵
𝐿𝐴𝐵
𝐿𝑐 =
360°

A

Radio

Arco AB de
la circunferencia

a

B

Ángulo
central

43

Ejemplo:
Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como máximo un ángulo de 146°. Calcula el
espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el máximo.
Fórmula

Lc=

Sustitución

LAB
360°

Lc =

2 × π ×1.8 × 146o
=4.5 m
360o

Ángulo inscrito
Ángulo con vértice sobre la
circunferencia y sus lados son
dos secantes.
∠𝐴𝑂𝐶 = ∠𝑂 =

𝐴𝐵
2

Ejemplo:
Si el arco AC = 100˚, hallar el valor del ángulo ABC.
Fórmula

Sustitución

A

∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐵 =

B

𝐴𝐶
2

Por estar el vértice B en la
circunferencia y por ser las
semirrectas BA y BC secantes a la
misma, el ángulo ABC es un ángulo
inscrito.
100𝑂
∠𝐵 =
= 50𝑂
2

C

44

Corona circular

Es la región comprendida entre
dos círculos que comparten su
centro.
Área=π ×(R2 - r2 )

Ejemplo:
Hallar el área de una corona circular de radio mayor R=4cm y radio menor r=2cm.
Fórmula

Área=π ×(R2 - r2 )

Sustitución
Área=π ×(42 -22 )=37.70 cm2

1. Encuentra el área de un círculo de radio 9cm.
Fórmula

Sustitución

2. Calcula la medida del ángulo central, para los ángulos inscritos: 25°, 40°, 60°, 75°.
Fórmula

Sustitución

45